Stetige Funktion < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 Mi 06.08.2008 | | Autor: | Mephi |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, für welche Werte von a die Funktion
[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{x^2+3x-10}{x^2-3x+2} & \mbox{für x>2} \\a^2-9 & \mbox{für x=2}\\ \wurzel{x^4+33} & \mbox{für x<2}\end{cases}
[/mm]
im Punkt [mm] x_0=2 [/mm] stetig ist. |
Im Prinzip ganz einfach, Grenzwerte von Fall 1 und 3 berechnen und a in Fall 2 so anpassen das er den Grenzwerten entspricht.
Mein Problem ist Fall 1:
So oft ich auch 2 einsetze ich bekomme immer
[mm] \bruch{4+6-10}{4-6+2}=\bruch{0}{0}
[/mm]
Setze ich Fall 1 aber in nen Funktionszeichner ein bekomme ich für x=2 immer 7 angezeigt, was auch Prima zu Fall 3 passt, da kommt auch 7 raus, damit ist [mm] a_1=4 [/mm] und [mm] a_2=-4 [/mm] und ich wäre fertig. Nur kann ich es für Fall 1 nicht beweisen =/.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 Mi 06.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mephi!
Klammere in Zähler und Nenner jeweils den Term $(x-2)_$ aus und kürze.
Nun kannst Du [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 2$ "gefahrlos" einsetzen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Mi 06.08.2008 | | Autor: | Mephi |
Danke für die Antwort.
Das Funktioniert zwar, aber warum macht man hier eine Linearfaktorzerlegung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Mi 06.08.2008 | | Autor: | pelzig |
> Das Funktioniert zwar, aber warum macht man hier eine
> Linearfaktorzerlegung?
Das ist halt eine Eigenschaft ![[]](/images/popup.gif) rationaler Funktionen. Die sind in einer reellen Definitionslücke genau dann stetig-fortsetzbar, wenn der entsprechende Linearfaktor im Nenner nicht in größerer Potenz als im Zähler auftaucht. Wenn du dich also fragst ob eine rationale Funktion in einem Punkt stetig fortsetzbar ist, musst du dir nur die Linearfaktoren anschauen. Alternativ kannst du hier natürlich auch mit dem Mittelwertsatz (L'Hospital...) den Grenzwert an der fraglichen Stelle berechnen. Dessen Existenz ist auch äquivalent zur stetigen Fortsetzbarkeit...
einfaches Beispiel: [mm] $f(x)=\frac{x}{x}$. [/mm] Offensichtlich ist diese Funktion überall wo sie definiert ist gleich 1, aber trotzdem nicht definiert in 0, lässt sich dort aber stetig fortsetzen:
[mm] $\tilde{f}(x):=\begin{cases}f(x)&\text{ für }x\ne 0\\0&\text{ für }x=0\end{cases}$
[/mm]
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:14 Mi 06.08.2008 | | Autor: | Mephi |
Danke für die Erklärung, habs glaube verstanden.
Aber in deinem Beispiel sollte dann gelten f(x)=1 für x=0. ^^
Solche Fehler passieren mir auch immer ... xD
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:05 Mi 06.08.2008 | | Autor: | pelzig |
> Aber in deinem Beispiel sollte dann gelten f(x)=1 für x=0.
Jaaa... ^^
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