Stetige Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:44 Mo 27.10.2014 | | Autor: | Melisa |
| Aufgabe | Sei f : [mm] \IR^2 \to \IR^2 [/mm] eine Funktion, die durch
$ [mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^3-xy^2}{x^2+y^4}, & \mbox{für } (x,y) \not=\mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{für } (x,y) = \mbox{ (0,0)} \end{cases} [/mm] $
fur alle (x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] \ {(0,0)} gegeben ist.
Sei [mm] x^0 [/mm] = [mm] (x_{1}^0,x_{2}^0) \in \IR^2 [/mm] beliebig, aber fest. Defi niere die Funktionen f1, f2 : [mm] \IR \to \IR [/mm] durch
[mm] f_{1}(x) [/mm] := f(x, [mm] x_{2}^0) [/mm] bzw. [mm] f_{2}(y) [/mm] := [mm] f(x_{1}^0,y). [/mm] Zeigen Sie, dass f1 und f2 auf R stetig sind. |
Hallo Leute,
ich haette eine Frage: darf man hier die Stetigkeit von [mm] f_{1} [/mm] und [mm] f_{2} [/mm] mit links und rechtsseitige grenzwerte zeigen?? (weil [mm] f_{1} [/mm] und [mm] f_{2} :\IR \to \IR [/mm] Funktionen sind). Oder ist es total Quatsch, was ich jetzt geschrieben habe :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:32 Mo 27.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
mit links -und rechtsseitigen Grenzwerten muss man hier nicht arbeiten.
Ueberlege dir zuerst, wieso die Funktionen für [mm] $x_i^0\neq [/mm] 0$ stetig sind.
Zeige dann, dass sie auch für [mm] $x_i^0=0$ [/mm] stetig sind.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 Mo 27.10.2014 | | Autor: | Melisa |
Hallo andyv,
danke Dir fuer die Antwort. Irgendwas verstehe ich nicht, soll ich hier nicht die Stetigkeit fuer x=0, y = 0 bzw. x!=0, y!=0 zeigen? Weil die Funktionen f1 und f2 x und y als Argumente haben
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:38 Mo 27.10.2014 | | Autor: | andyv |
Das sollst du ja auch machen. Mein Vorschlag war hier um etwa die Stetigkeit von [mm] $f_1$ [/mm] zu zeigen die beiden Fälle
1. [mm] $x_2^0\neq [/mm] 0$
2. [mm] $x_2^0=0$
[/mm]
zu betrachten.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:57 Mo 27.10.2014 | | Autor: | Melisa |
Also fuer die Funktion f1 sollte ich sowas schreiben:
wenn [mm] (x,x_{2}^0) [/mm] != (0,0) dann ist f1 stetig weil f stetig ist und
wenn [mm] (x,x_{2}^0) [/mm] = (0,0) dann mit
[mm] \limes_{(x,x_{2}^0) \rightarrow\(0,0)} [/mm] f1(x) = ... Stetigkeit beweisen.
Ist das richtig??
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:48 Di 28.10.2014 | | Autor: | andyv |
Nein, das ist ziemliches durcheinander.
Ich dachte eher an sowas:
1. [mm] $x_2^0 \neq [/mm] 0$: [mm] $f_1$ [/mm] ist stetig als Quotient stetiger Funktionen (mit [mm] $Nenner\neq0$)
[/mm]
2. [mm] $x_2^0=0$: [/mm] Es ist [mm] $f_2(x)=\dots$, [/mm] also [mm] f_2 [/mm] (offenbar) stetig.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:40 Di 28.10.2014 | | Autor: | Melisa |
Entschuldigung dafuer, dass ich so viele Frage stelle, aber ich will es richtig verstehen
also fuer f1 muss ich stetigkeit zeigen, nur wenn [mm] x_{2}^0 [/mm] = 0 und wenn [mm] x_{2}^0 [/mm] !=0 ist es so? Muss ich hier das Argument x nicht in Betracht ziehen? (Also ich meine f1( x ))
Und fuer f2?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:14 Di 28.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Entschuldigung dafuer, dass ich so viele Frage stelle, aber
> ich will es richtig verstehen
>
> also fuer f1 muss ich stetigkeit zeigen, nur wenn [mm]x_{2}^0[/mm] =
> 0 und wenn [mm]x_{2}^0[/mm] !=0 ist es so?
ja
> Muss ich hier das
> Argument x nicht in Betracht ziehen?
Natürlich musst Du das !
> (Also ich meine f1( x
Ich schreibe u statt [mm] x_2^0.
[/mm]
Fall 1: u=0. Zeige dann: [mm] f_1(x)=x [/mm] für alle x [mm] \in \IR. [/mm] Ist [mm] f_1 [/mm] auf [mm] \IR [/mm] stetig ?
Fall 2: u [mm] \ne [/mm] 0. Dann ist [mm] f_1(x)=\bruch{x^2-xu^2}{x^2+u^4}. [/mm] Ist [mm] f_1 [/mm] auf [mm] \IR [/mm] stetig ?
FRED
> ))
>
> Und fuer f2?
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Di 28.10.2014 | | Autor: | Melisa |
Hallo FRED,
vielen Dank erstmal :)
Fall 1: wenn u = 0 habe ich verstanden und f1 ist auf R stetig.
Fall 2.
> Fall 2: u [mm]\ne[/mm] 0. Dann ist [mm]f_1(x)=\bruch{x^2-xu^2}{x^2+u^4}.[/mm]
> Ist [mm]f_1[/mm] auf [mm]\IR[/mm] stetig ?
Soll ich hier einfach schreiben, dass wenn u!=0, dann ist f1 stetig als Komposition stetiger funktionen oder soll ich hier die Faelle:
x=0 und x!=0 auch beachten??
LG
Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Di 28.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
das ist in diesem Fall nicht nötig.
Unabhängig davon was x ist, ist in diesem Fall [mm] $x^2+u^4\neq [/mm] 0$, damit [mm] $f_1$ [/mm] als Quotient stetiger Funktionen stetig.
Liebe Grüße
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