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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 So 29.04.2012 | | Autor: | Yoca |
| Aufgabe | Geben Sie für die folgende Funktionen den maximalen Definitionsbereich D[mm] \subset [/mm] R an und untersuche Sie ihr Verhaltzen an dne Rändern von D ( inklusive - unendlich bis + unendlich)
B) g(x) = sin( [mm] \bruch {1}{x^2-1} [/mm]) |
Ich persönlich habe die Aufgabe versucht zu rechnen und bin auf Probleme gestoßen. Falls hier die Regel von l´hospital angewendet werden müsste, könnte ich es noch hinbekommen. Soweit ich weiß kommt es hier aber nicht in Frage, da der Wert oben und Unten nicht "Null" wird.
Es wäre nett, wenn mir da jemand weiter helfen könnte.
Grüße Yoca
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:44 So 29.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Geben Sie für die folgende Funktionen den maximalen
> Definitionsbereich D[mm] \subset[/mm] R an und untersuche Sie ihr
> Verhaltzen an dne Rändern von D ( inklusive - unendlich
> bis + unendlich)
>
> B) g(x) = sin( [mm]\bruch {1}{x^2-1} [/mm])
> Ich persönlich habe
> die Aufgabe versucht zu rechnen und bin auf Probleme
> gestoßen. Falls hier die Regel von l´hospital angewendet
> werden müsste, könnte ich es noch hinbekommen. Soweit ich
> weiß kommt es hier aber nicht in Frage, da der Wert oben
> und Unten nicht "Null" wird.
>
> Es wäre nett, wenn mir da jemand weiter helfen könnte.
die Funktion kann offenbar überall auf [mm] $\IR \setminus \{-1,\;1\}$ [/mm] als definiert angesehen werden.
Weil
[mm] $$(\*)\;\;\;\lim_{y \to \infty}\sin(y) \text{ und }\lim_{y \to- \infty}\sin(y)$$ [/mm]
nicht existieren (warum?), solltest Du erkennen, dass auch
[mm] $$\lim_{x \to 1^+}f(x) \text{ und }\lim_{x \to 1^-}f(x)$$ [/mm]
nicht existieren. (Man kann es fast analog begründen - will heißen: Wenn Du verstanden hast, warum der entsprechende Limes aus [mm] $(\*)$ [/mm] nicht existieren kann, solltest Du auch analog argumentieren können, warum die erwähnten beiden einseitigen Grenzwerte oben nicht existieren können).
Analog kann man begründen, dass auch an der Stelle [mm] $x=-1\,$ [/mm] die beidseitigen Grenzwerte bzgl. [mm] $f\,$ [/mm] nicht existieren können (oder man nutzt hierzu aus, wenn man die Nichtexistenz der einseitigen Grenzwerte an der Stelle [mm] $1\,$ [/mm] bzgl. [mm] $f\,$ [/mm] bewiesen hat, dass [mm] $f\,$ [/mm] eine gerade Funktion ist: [mm] $f(-x)=f(x)\,$ [/mm] für alle [mm] $x\,$).
[/mm]
Und naja:
Was [mm] $\lim_{x \to \infty}\sin(1/(1-x^2))$ [/mm] ist, solltest Du eigentlich herausfinden können - denn es ist ja [mm] $\lim_{|x| \to \infty}1/(1-x^2)=0$ [/mm] und der Sinus ist stetig.
Oder Du benutzt
[mm] $$|\sin(p)| \le [/mm] |p|$$
für alle $p [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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