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| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob sich die folgende Funktion bei [mm] x_{0} [/mm] stetig fortsetzen lässt, und geben Sie im Falle der Fortsetzbarkeit den Funktionswert der Fortsetzung bei [mm] x_{0} [/mm] an.
[mm] f(x)=\bruch{x^2-4}{x^3+3x^2-4}, x_{0}=-2 [/mm] |
Hallo,
bei dieser Aufgabe wollte ich erst den Grenzwert bei [mm] x_{0} [/mm] ausrechnen und dann prüfen, ob der Grenzwert von links und rechts gleich ist. Jedoch habe ich hier bereits Probleme bei der Umformung. Das Ausklammern von [mm] x^{2} [/mm] bring mich hier anscheinend nicht weiter und auch andere Versuche führten nicht zum Ziel. Gibt es hier eventuell einen genialen Trick oder habe ich etwas einfaches übersehen? Hat jemand eine Idee? Dann könnte ich die Aufgabe nach dieser Hürde weiter probieren zu lösen.
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Hallo Martin,
> Untersuchen Sie, ob sich die folgende Funktion bei [mm]x_{0}[/mm]
> stetig fortsetzen lässt, und geben Sie im Falle der
> Fortsetzbarkeit den Funktionswert der Fortsetzung bei [mm]x_{0}[/mm]
> an.
>
> [mm]f(x)=\bruch{x^2-4}{x^3+3x^2-4}, x_{0}=-2[/mm]
> Hallo,
>
> bei dieser Aufgabe wollte ich erst den Grenzwert bei [mm]x_{0}[/mm]
> ausrechnen und dann prüfen, ob der Grenzwert von links und
> rechts gleich ist.
Das ist die übliche Methode ...
> Jedoch habe ich hier bereits Probleme
> bei der Umformung. Das Ausklammern von [mm]x^{2}[/mm] bring mich
> hier anscheinend nicht weiter und auch andere Versuche
> führten nicht zum Ziel. Gibt es hier eventuell einen
> genialen Trick oder habe ich etwas einfaches übersehen?
Genial ist der "Trick" nicht und du hast es in der Tat wohl übersehen:
Es ist [mm] $x_0=-2$ [/mm] ja Nullstelle des Nenners, also von [mm] $x^3+3x^2-4$
[/mm]
Spalte das mal per Polynomdivision [mm] $(x^3+3x^2-4):(x-(-2))$, [/mm] also [mm] $(x^3+3x^2-4):(x+2)$ [/mm] ab.
Außerdem steht im Zähler eine 3. binomische Formel ....
Dann patscht du dir vor die Stirn 
> Hat jemand eine Idee? Dann könnte ich die Aufgabe nach dieser
> Hürde weiter probieren zu lösen.
LG
schachuzipus
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Bei der Grenzwertberechnung bin ich noch nicht sehr geübt, vor allem wenn der Grenzwert nicht gegen [mm] \infty [/mm] geht, daher fiel der Patscher auf die Stirn aus. ;)
Nach Polynomdivision, binomischer Formel und Kürzen habe ich [mm] \bruch{x-2}{x^2+x-2}. [/mm] Kann ich hier schon die Grenzwertbetrachtung mit [mm] \limes_{x\rightarrow\(-2)} [/mm] machen? Damit hätte ich [mm] \bruch{-4}{0} [/mm] raus.
Nachdem ich mir den Graphen der Ausgangsfunktion angesehen habe, würde ich als Grenzwert eher [mm] \infty [/mm] oder [mm] -\infty [/mm] erwarten. Wie bekomme ich hier den Übergang hin?
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Hallo nochmal,
> Bei der Grenzwertberechnung bin ich noch nicht sehr geübt,
> vor allem wenn der Grenzwert nicht gegen [mm]\infty[/mm] geht, daher
> fiel der Patscher auf die Stirn aus. ;)
>
> Nach Polynomdivision, binomischer Formel und Kürzen habe
> ich [mm]\bruch{x-2}{x^2+x-2}.[/mm] Kann ich hier schon die
> Grenzwertbetrachtung mit [mm]\limes_{x\rightarrow\(-2)}[/mm] machen?
Du kannst es noch weiter faktorisieren: [mm] $...=\frac{x-2}{(x+2)(x-1)}$
[/mm]
Hier siehst du, dass die Funktion also in [mm] $x_0=-2$ [/mm] einen Pol hat, was dein (linkssseitiger) "GW" [mm] $\frac{-4}{0}=-\infty$ [/mm] (wenn ich das mal etwas lax schreiben darf ..) ja auch zeigt.
> Damit hätte ich [mm]\bruch{-4}{0}[/mm] raus.
für den linksseitigen GW [mm] $x\uparrow [/mm] -2$
>
> Nachdem ich mir den Graphen der Ausgangsfunktion angesehen
> habe, würde ich als Grenzwert eher [mm]\infty[/mm] oder [mm]-\infty[/mm]
> erwarten. Wie bekomme ich hier den Übergang hin?
Der linksseitige Limes ist [mm] -\infty, [/mm] der rechtsseitige ist [mm] +\infty
[/mm]
Einer hätte schon gereicht, denn [mm] \pm\infty [/mm] ist kein GW im eigentlichen Sinne (ein uneigentlicher GW)
Du kannst keine Funktion stetig schließen, die eine Postelle hat
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mi 13.05.2009 | | Autor: | MartinS83 |
Hallo schachuzipus,
dann war ich doch schon näher am Ziel, als ich dachte.
Vielen Dank für deine Tipps und Erklärungen!
Gruß Martin
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