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| Aufgabe | Sei V ein Banachraum, f : [a,b] --> V stetig diff'bar mit f'(t) [mm] \not= [/mm] 0 für alle t [mm] \in [/mm] [a,b]. Zeigen Sie:
a) Es existiert eine bijektive Funktion [mm] \nu [/mm] : [0,L] --> [a,b], sodass [mm] \nu [/mm] , [mm] \nu^{-1} [/mm] stetig diff'bar sind und für g = f \ circ [mm] \nu [/mm] : [0, L] --> V gilt: g ist diff'bar mit ||g'(t')|| = 1 für alle t' [mm] \in [/mm] [0, L].
b) L mit den obigen Eigenschaften ist die Länge der Kurve f. |
Hallo,
für b) möchte ich den Satz, dass f als stetig diff'bare Funktion mit [mm] L(f)=\integral_{a}^{b}{||f'(x)|| dx} [/mm] rektifizierbar ist, nutzen. Das traue ich mir irgendwie noch zu.
Nur bei a) hab ich keine Ahnung, wie ich vorgehen soll. Darf ich die Existenz von [mm] \nu [/mm] voraussetzen oder wie kann ich das zeigen? Und welche Norm ist bei ||g'(t')||=1 gemeint?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:35 Mo 13.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei V ein Banachraum, f : [a,b] --> V stetig diff'bar mit
> f'(t) [mm]\not=[/mm] 0 für alle t [mm]\in[/mm] [a,b]. Zeigen Sie:
>
> a) Es existiert eine bijektive Funktion [mm]\nu[/mm] : [0,L] -->
> [a,b], sodass [mm]\nu[/mm] , [mm]\nu^{-1}[/mm] stetig diff'bar sind und für
> g = f \ circ [mm]\nu[/mm] : [0, L] --> V gilt: g ist diff'bar mit
> ||g'(t')|| = 1 für alle t' [mm]\in[/mm] [0, L].
>
> b) L mit den obigen Eigenschaften ist die Länge der Kurve
> f.
> Hallo,
>
> für b) möchte ich den Satz, dass f als stetig diff'bare
> Funktion mit [mm]L(f)=\integral_{a}^{b}{||f'(x)|| dx}[/mm]
> rektifizierbar ist, nutzen. Das traue ich mir irgendwie
> noch zu.
>
> Nur bei a) hab ich keine Ahnung, wie ich vorgehen soll.
> Darf ich die Existenz von [mm]\nu[/mm] voraussetzen
Nein, die sollst Du zeigen !
Für t [mm] \in [/mm] [a,b] setze
[mm] s(t):=\integral_{a}^{t}{||f'(x)|| dx}.
[/mm]
Zeige: s:[a,b] [mm] \to [/mm] [0,L(f)] ist bijektiv. Nimm dann [mm] \nu:=s^{-1}
[/mm]
> oder wie kann
> ich das zeigen? Und welche Norm ist bei ||g'(t')||=1
> gemeint?
Die auf V.
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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Ich setze also s(t)=s(t') und will daraus folgern: t=t'.
Aber wie kann ich das f' integrieren, wenn da eine Norm drum steht?
und was kann ich was kann ich daraus folgern, dass ||g'(t')|| = 1 = [mm] ||f'(\nu(t))*\nu' [/mm] ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:20 Mi 15.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Und magst du erklären, wie du auf
$ [mm] s(t):=\integral_{a}^{t}{||f'(x)|| dx}. [/mm] $
gekommen bist?
Ich hab nun schon alles versucht, was mir einfällt. f=g [mm] \nu [/mm] ^{-1}, L(f)=... [mm] L(\nu)=... [/mm] aber irgendwie "sehe" ich es nicht. Meine Probleme sind, dass ich ja auch gar keine Form für f habe, sondern nur für L(f). Und L(g) kann ich noch nicht mal konkret angeben, weil es ja nicht stetig diff'bar ist und der Term [mm] ||g'(\tau)|| [/mm] sagt mir gar nichts...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Do 16.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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