Stetige Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei f [mm] \in C^{1}(\IR^{2}). [/mm] Prüfe, ob [mm] g(t):=\integral_{0}^{t}{f(t,y) dy} [/mm] stetig differenzierbar auf [mm] \IR [/mm] ist. |
Guten Tag!
Ich soll die Aussage aus der obigen Aufgabenstellung nachweisen. Ich habe leider keine Idee, wie ich dort ansetzen könnte. Bisher habe ich es mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung versucht, bin jedoch nicht damit weitergekommen.
Könnte mir jemand eventuell bitte einen Denkanstoß geben?
Besten Dank bereits im Voraus und einen sonnigen Tag!
mathe_thommy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:44 Mo 09.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Sei f [mm]\in C^{1}(\IR^{2}).[/mm] Prüfe, ob
> [mm]g(t):=\integral_{0}^{t}{f(t,y) dy}[/mm] stetig differenzierbar
> auf [mm]\IR[/mm] ist.
> Guten Tag!
>
> Ich soll die Aussage aus der obigen Aufgabenstellung
> nachweisen. Ich habe leider keine Idee, wie ich dort
> ansetzen könnte. Bisher habe ich es mit dem Hauptsatz der
> Differential- und Integralrechnung versucht, bin jedoch
> nicht damit weitergekommen.
Warum verheimlichst Du Deine Versuche ?
> Könnte mir jemand eventuell bitte einen Denkanstoß
> geben?
Setze
$F(t,s):= [mm] \integral_{0}^{t}{f(s,y) dy} [/mm] $
Dann ist $g(t)=F(t,t)$
Mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist F ist partiell differenzierbar nach t und es gilt
(1) [mm] F_t(t,s)= [/mm] ???? .
Nach einem Satz über Parameterintegrale ist F partiell differenzierbar nach s und es gilt
(2) [mm] F_s(t,s) [/mm] = ????.
Wenn Du die Fragezeichen in (1) und (2) richtig mit Leben gefüllt hast, solltest Du sehen, dass die Ableitungen [mm] F_t [/mm] und [mm] F_s [/mm] stetig sind.
Nach der mehrdimensionalen Kettenregel ist dann g differenzierbar und
[mm] $g'(t)=F_t(t,t)+F_s(t,t)$
[/mm]
Ist g' stetig ?
FRED
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> Besten Dank bereits im Voraus und einen sonnigen Tag!
> mathe_thommy
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Guten Abend!
Fred, ich danke Dir vielmals! Deine Antworten sind für mich immer sehr schlüssig und nachvollziehbar.
Du definierst in Deiner Antwort $ F(t,s):= [mm] \integral_{0}^{t}{f(s,y) dy} [/mm] $.
Möchte ich nun $ [mm] F_{t}(t,s) [/mm] $ bestimmen, habe ich Schwierigkeiten, da die Variable t doch nur eine meiner Integralgrenzen ist, jedoch nicht in der Funktion (abhängig von $s$ und $y$) vorkommt.
Oder muss ich an dieser Stelle auch mit dem Hauptsatz arbeiten und die partielle Ableitung als Integral darstellen?
Etwa in der Form: [mm] $F_{t}(t,s)=\integral_{0}^{t}{F_{tt}(s,y) dy} [/mm] $?
Einen angenehmen Abend!
mathe_thommy
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:54 Di 10.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Guten Abend!
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> Fred, ich danke Dir vielmals! Deine Antworten sind für
> mich immer sehr schlüssig und nachvollziehbar.
>
> Du definierst in Deiner Antwort [mm]F(t,s):= \integral_{0}^{t}{f(s,y) dy} [/mm].
>
> Möchte ich nun [mm]F_{t}(t,s)[/mm] bestimmen, habe ich
> Schwierigkeiten, da die Variable t doch nur eine meiner
> Integralgrenzen ist, jedoch nicht in der Funktion
> (abhängig von [mm]s[/mm] und [mm]y[/mm]) vorkommt.
> Oder muss ich an dieser Stelle auch mit dem Hauptsatz
> arbeiten
Hab ich doch gesagt. Nach diesem Satz ist
[mm] F_{t}(t,s)=f(s,t).
[/mm]
Ist Dir das klar ?
> und die partielle Ableitung als Integral
> darstellen?
Bei [mm] F_t [/mm] nicht (s.o.)
> Etwa in der Form: [mm]F_{t}(t,s)=\integral_{0}^{t}{F_{tt}(s,y) dy} [/mm]?
Das ist kompletter Unsinn.
Edit: ich nehms zurück. Es ist kein Unsinn. Es ist richtig. Aber ist Dir klar warum ?
FRED
>
> Einen angenehmen Abend!
> mathe_thommy
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Guten Morgen!
Nein, so ganz klar ist mir das noch nicht. Wie entsteht genau diese Ableitung?
Erhalte ich dann analog zu $ [mm] F_{t} [/mm] $ auch $ [mm] F_{s}(t,s)=f(s,s). [/mm] $?
Damit wäre $ g'(t) $ als Verkettung stetiger Funktionen auch stetig und damit wie in der Aufgabenstellung stetig differenzierbar auf IR, oder?
Beste Grüße
mathe_thommy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Di 10.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Guten Morgen!
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> Nein, so ganz klar ist mir das noch nicht. Wie entsteht
> genau diese Ableitung?
Der Hauptsatz der Diff.- und Integralrechnung lautet so:
Ist I ein Interwall in [mm] \IR, [/mm] $h:I [mm] \to \IR$ [/mm] stetig, a [mm] \in [/mm] I und
[mm] H(t):=\integral_{a}^{t}{h(y) dy}.
[/mm]
Dann ist H differenzierbar auf I und es ist H'(t)=h(t) für alle t [mm] \in [/mm] I.
So, nun hatten wir
$ F(t,s):= [mm] \integral_{0}^{t}{f(s,y) dy} [/mm] $.
Wenn wir F nach t partiell differenzieren, so ist s eine Konstante und aus obigem Satz folgt
[mm] F_t(t,s)=f(s,t).
[/mm]
> Erhalte ich dann analog zu [mm]F_{t}[/mm] auch [mm]F_{s}(t,s)=f(s,s). [/mm]?
Nein. Ich hab Dir gesagt, wie Du nach s differenzieren musst: mit einem Satz über Parameterintegrale:
Es gilt: [mm] F_s(t,s)= \integral_{0}^{t}{f_s(s,y) dy}
[/mm]
>
> Damit wäre [mm]g'(t)[/mm] als Verkettung stetiger Funktionen auch
> stetig und damit wie in der Aufgabenstellung stetig
> differenzierbar auf IR, oder?
Ja
FRED
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> Beste Grüße
> mathe_thommy
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