Stetig heißt nicht gleich diff < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Sa 17.01.2009 | | Autor: | Juli17 |
| Aufgabe | Die Funktion f(x)=x²+1 (x<gleich 1)
f(x)=3x-1 (x>1)
ist an der Anschlussstelle x=1 stetig, aber nicht differenzierbar. Untersuchen sie die Aussage.
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Habe in beiden Funktionen 1 eingesetzt und bin bei der Funktion 1 auf 2 und bei Funktion 2 auf 3 gekommen.
Danach habe ich von jeder Funktion eine Ableitung gebildet und bin bei Funktion 1 auf 2 und bei Funktion 2 auf 2 gekommen.
2=2->differenzierbar
3=2->nicht differenzierbar
Ist das richtig gelöst?
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> Die Funktion f(x)=x²+1 (x<gleich 1)
> f(x)=3x-1 (x>1)
>
> ist an der Anschlussstelle x=1 stetig, aber nicht
> differenzierbar. Untersuchen sie die Aussage.
>
>
>
>
> Habe in beiden Funktionen 1 eingesetzt und bin bei der
> Funktion 1 auf 2 und bei Funktion 2 auf 3 gekommen.
Hallo,
da hättest Du stutzig werden sollen: das bedeutet doch, daß die beiden Funktionszweige an der Nahtstelle nicht zusammenstoßen, die Funktion also nicht stetig ist, ein Widerspruch zu dem, ws Du zeigen sollst.
> Danach habe ich von jeder Funktion eine Ableitung gebildet
> und bin bei Funktion 1 auf 2 und bei Funktion 2 auf 2
> gekommen.
Wie lauten die Ableitungen?
[mm] f'(x)=\begin{cases} ..., & \mbox{für } x\le1 \\ ..., & \mbox{für } x>1 \end{cases}
[/mm]
Nun mußt Du für beide Funktionszweige den Grenzwert für [mm] x\to [/mm] 1 berechnen, und gucken, ob der rechts und links übereinstimmt.
Wenn ja: diffbar
Wenn nein: nicht diffbar.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Sa 17.01.2009 | | Autor: | Juli17 |
Beim Einsetzen des Wertes 1 bin ich bei der ersten Funtion auf 2 gekommen. Dann habe ich von derselbigen Funktion die Ableitung Y=2x gebildet. Dort den Wert eingesetzt, da kommt aber aus 2 raus. Demnach wäre die erste Funktion bei mir differenzierbar. Also wäre es ja sogesehen eine falsche Aussage.
Beim Einsetzen des Wertes 1 in die 2. Funktion bon ich auch auf 2 gekommen, bei der Ableitung y=3 auf den Wert 3. 2 ist ungleich 3, demnach wahre Aussage und nicht differenzierbar.
Habe ich da was falsch gemacht?
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> Zur Aufgabe
> Beim Einsetzen des Wertes 1 bin ich bei der ersten Funtion
Hallo,
wir haben nur eine Funktion, welche aber zwei Zweige hat, einmal den für [mm] x\le [/mm] 1 und einmal den für x>1.
> auf 2 gekommen. Dann habe ich von derselbigen Funktion die
> Ableitung Y=2x gebildet. Dort den Wert eingesetzt, da kommt
> aber aus 2 raus. Demnach wäre die erste Funktion bei mir
> differenzierbar.
Daß Wert der Ableitung an der Stelle x=1 hier zufällig auch =2 ist, hat mit der Differenzierbarkeit absolut nichts zu tun.
Für die Stetigkeit mußt Du erstmal untersuchen, ob 2=f(1) dasselbe ist wie [mm] \lim_{x\to 1}(3x-1)
[/mm]
Erst wenn das der Fall ist, brauchst Du über die Diffbarkeit überaupt nachzudenken, denn Funktionen die nicht stetig sind, sind erst recht nicht differenzierbar.
> Beim Einsetzen des Wertes 1 in die 2. Funktion bon ich auch
> auf 2 gekommen,
Aha, also ist [mm] \lim_{x\to 1}(3x-1)=2=f(1), [/mm] also ist die Funktion stetig.
bei der Ableitung y=3 auf den Wert 3. 2 ist
> ungleich 3, demnach wahre Aussage und nicht
> differenzierbar.
Du mußt an dieser Stelle die beiden Ableitungen vergleichen. Sind sie gleich --> diffbar,
verschieden --> nicht diffbar.
Gruß v. Angela
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