Stetig fortsetzbar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:12 Sa 05.01.2013 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | Sei
f: [mm] \IR^{2} [/mm] \ {0} [mm] \to \IR, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto \bruch{x^{2}y^{3}}{x^{4}+y^{8}}
[/mm]
Zeigen Sie:
i. ...
ii. f ist nicht stetig fortsetzbat in (0,0) |
Hallo Leute,
wir haben in der Uni noch nicht über stetig fortsetzbare Funktionen gesprochen.
Aus der Schule weiß ich allerdings, dass Funktionen stetig fortsetzbar sind, wenn der links- und rechtsseitiger Grenzwert an den Definitionslücken übereinstimmen..
Allerdings weiß ich nicht mit der Funktion umzugehen.
Kann jemand helfen? (gerne auch an einem Beispiel oder konkretem Link - bin nicht fundig geworden)
Silfide
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:43 Sa 05.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo silfide,
> Sei
>
> f: [mm]\IR^{2}[/mm] \ {0} [mm]\to \IR,[/mm] (x,y) [mm]\mapsto \bruch{x^{2}y^{3}}{x^{4}+y^{8}}[/mm]
>
> Zeigen Sie:
> i. ...
> ii. f ist nicht stetig fortsetzbat in (0,0)
> Hallo Leute,
>
> wir haben in der Uni noch nicht über stetig fortsetzbare
> Funktionen gesprochen.
>
> Aus der Schule weiß ich allerdings, dass Funktionen stetig
> fortsetzbar sind, wenn der links- und rechtsseitiger
> Grenzwert an den Definitionslücken übereinstimmen..
der Definitionsbereich ist hier aber [mm] $\IR^2 \setminus \{(0,0)\}\,,$ [/mm] und nicht eine Menge
$T [mm] \subseteq \IR\,.$ [/mm] Was man hier so alternativ sagen könnte: "Egal, welchen
'Weg' [mm] $\subseteq \IR^2 \setminus \{(0,0)\}$ [/mm] man wählt, um an die $(0,0)$ heranzulaufen, die
entsprechenden Funktionswerte müssen dann "bei diesem Lauf zur $(0,0)$"
auf "einen (insgesamt) gemeinsamen" Wert zugehen."
Das ist jetzt nicht besonders mathematisch ausgedrückt, vor allem, sofern
wir den Begriff "Weg" ja vielleicht noch gar nicht definiert haben - und was
heißt es, "einen Weg entlang zur $(0,0)$ zu laufen", aber ich denke, Du
kannst Dir vielleicht vorstellen, was ich mit dem oben gesagten - was halt
lax formuliert ist - sagen will.
> Allerdings weiß ich nicht mit der Funktion umzugehen.
Deine Funktion [mm] $f\,$ [/mm] oben heißt genau dann stetig fortsetzbar in [mm] $(0,0)\,,$
[/mm]
wenn es eine Funktion [mm] $g\colon \IR^2 \to \IR$ [/mm] (beachte: beim Definitionsbereich von [mm] $g\,$ [/mm]
nimmt man zu dem Definitionsbereich von [mm] $f\,,$ [/mm] welcher hier ja [mm] $\IR^2 \setminus \{(0,0)\}$ [/mm] war,
die "ergänzende Stelle" hinzu: [mm] $\IR^2=(\IR^2 \setminus \{(0,0)\}) \cup \{(0,0)\}$) [/mm]
gibt, so dass [mm] $g\,$ [/mm] stetig in $(0,0)$ ist und dass zudem [mm] $g_{|\IR^2 \setminus \{(0,0)\}}=f$ [/mm] (die
Einschränkung von [mm] $g\,$ [/mm] auf den Definitionsbereich von [mm] $f\,$ [/mm] soll halt
einfach wieder [mm] $f\,$ [/mm] sein) gilt.
Wenn es eine solche Funktion [mm] $g\,$ [/mm] wie gefordert gäbe, so müßte
insbesondere gelten: Ist [mm] ${(x_n)}_n={(\;(x_n^{(1)},x_n^{(2)})\;)}_n$
[/mm]
irgendeine Folge in [mm] $\IR^2$ [/mm] mit [mm] $x_n \to (0,0)\,,$ [/mm] so muss dann auch
gelten, dass
[mm] $$g(x_n) \to g((0,0))\,.$$
[/mm]
Wie hilft Dir das nun, wenn Du zeigen sollst, dass es eine solche Funktion
[mm] $g\,$ [/mm] nicht geben kann?
Nun ja: Finde zwei Folgen [mm] ${(x_n)}_n$ [/mm] und [mm] ${(x^\*_n)}_n$ [/mm] in [mm] $\IR^2 \red{\setminus \{(0,0)\}}$ [/mm] so, dass [mm] $x_n,\,x^\*_n \to [/mm] (0,0)$ und dass
[mm] $$\lim_{n \to \infty} f(x_n)\red{\;\not=\;}\lim_{n \to \infty} f(x_n^\*)\,.$$
[/mm]
(Alternativ: Finde EINE Folge [mm] ${(\tilde{x}_n)}_n\,$ [/mm] mit [mm] $\IR^2 \setminus \{(0,0)\} \ni \tilde{x}_n \to (0,0)\,,$ [/mm] für die [mm] $\lim_{n \to \infty} f(\tilde{x}_n)$ [/mm]
NICHT existiert! So eine kannst Du Dir aber insbesondere aus zwei Folgen
- wie zuvor genannt - basteln!)
Warum hilft das? Nun, wenn alle [mm] $x_n,\,x_n^\* \in \IR^2 \red{\setminus \{(0,0)\}}$ [/mm] sind,
dann gilt stets [mm] $g(x_n)=f(x_n)$ [/mm] und [mm] $g(x_n^\*)=f(x_n^\*)\,.$ [/mm] Was folgt
dann also für
[mm] $$\lim_{n \to \infty} g(x_n)$$
[/mm]
im Vergleich mit
[mm] $$\lim_{n \to \infty} g(x_n^\*)\,.$$
[/mm]
Und zu was steht das im Widerspruch? (Wir hatten ja die Annahme
getroffen, dass [mm] $g\,$ [/mm] stetig in $(0,0)$ sei!)
P.S. Anders gesagt: Bei Deiner obigen Aufgabe benutze "Stetigkeit=Folgenstetigkeit"
inklusive der von mir gesagten Definition, was "stetig fortsetzbar in $(0,0)$"
eigentlich bedeutet!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:55 Sa 05.01.2013 | | Autor: | silfide |
Hallo Marcel,
ich weiß was du meinst (auch deine sehr unmathematische Erklärung) ... bin in finden von Dinge (Folgen) nicht sonderlich gut... ich schlafe jetzt einfach mal drüber und hoffe auf eine Erleuchtung...
Ne Beispiel hast du nicht zufällig??
Guten N8
Mia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:01 So 06.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> ich weiß was du meinst (auch deine sehr unmathematische
> Erklärung) ... bin in finden von Dinge (Folgen) nicht
> sonderlich gut... ich schlafe jetzt einfach mal drüber und
> hoffe auf eine Erleuchtung...
>
>
> Ne Beispiel hast du nicht zufällig??
Beispiel für was?
Ich geb' Dir mal einen Tipp für die Aufgabe: Mit Folgen "der Bauart"
[mm] $$\Big(\;\frac{1}{n^k},\;\frac{1}{n^\ell}\Big)$$
[/mm]
kann man mal ein bisschen rumspielen. (Welche Voraussetzungen an [mm] $\ell$
[/mm]
bzw. [mm] $k\,$ [/mm] sind wohl "sinnvoll"? Das müssen nicht unbedingt Zahlen aus
[mm] $\IN$ [/mm] sein, aber sie sollten minstens schonmal erfüllen... ja was?)
Einmal setzt man meinetwegen einfach erstmal [mm] $k=\ell=1$ [/mm] und schaut sich
an, was beim Einsetzen in
$$(r,s) [mm] \mapsto \bruch{r^{2}s^{3}}{r^{4}+s^{8}}$$
[/mm]
dann passiert.
Jetzt rechnen wir einfach mal mit allgemeinen [mm] $k,\ell$:
[/mm]
[mm] $$\frac{\frac{1}{n^{2k}}*\frac{1}{n^{3\ell}}}{\frac{1}{n^{4k}}+\frac{1}{n^{8\ell}}}=\frac{n^{4k+8\ell}}{(n^{8\ell}+n^{4k}) n^{2k+3\ell}}=\frac{n^{5\ell+2k}}{n^{8\ell}+n^{4k}}$$
[/mm]
(Hier "sieht man schon, dass für [mm] $\ell=k=1$ [/mm] eine Nullfolge rauskommen wird".)
Teste jetzt mal, was für [mm] $\ell=2$ [/mm] und [mm] $k=3\,$ [/mm] da passiert. (Wie man auf
sowas kommt, das ist ein wenig "Bastelarbeit". Grundlegend wäre - hier (!),
entsprechend dem, was wir da oben ganz rechterhand nun stehen haben - die
Idee, den größten Exponenten des Zählers (hier gibt's ja aber eh nur einen) [mm] $\ge$ [/mm]
als den größten Exponenten des Nenners zu bekommen:
[mm] $$5\ell+2k \ge \max\{8\ell,\;4k\}\,.$$
[/mm]
Also [mm] $\ell=2$ [/mm] und [mm] $k=4\,$ [/mm] ginge auch (und dann hätten wir auch schon das
ganze mit einer einzigen Folge erledigt...))
P.S. Beispielaufgaben, analog zu Deiner hier, wurden im Matheraum
eigentlich schon oft behandelt. Da brauchst Du eigentlich nur das Forum
zu durchsuchen, oder aber Du suchst nach "stetig ergänzbar+Matheraum"
oder sowas mit Googel, da sollte sich auch was finden lassen. Vermutlich
wurde auch schon genau die hier gestellte Aufgabe schonmal behandelt,
aber das muss nicht sein. Was vielleicht selten bis gar nicht gemacht
wurde, ist, wie hier, mal ein bisschen "konstruktiver" bei dem Auffinden
solcher geeigneten Folgen vorzugehen. Ich selbst habe das auch meist bei
anderen Aufgaben durch "Testen" von Exponenten gemacht. Der hier
von mir nun vorgeschlagene Weg ist zwar bzgl. der Aufgabe immer noch
speziell, aber er liefert natürlich schon zudem eine gewisse Strategie;
wobei nichtsdestotrotz die Wahl der Nullfolgen zwar schon ziemlich
allgemein (wegen noch unbestimmter Exponenten als Parameter), aber
doch irgendwie "speziell" ist (wir erfassen z.b. keine Folgen wie etwa die
der Bauart
[mm] $$\Big(\frac{1}{n}*\cos(2/n^2),\;\frac{1}{e^n}\Big)\,$$
[/mm]
welche ja auch eine Folge in [mm] $\IR^2 \setminus \{(0,0)\}$ [/mm] ist und die auch gegen $(0,0)$ strebt).
Gruß,
Marcel
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:46 So 06.01.2013 | | Autor: | arraneo |
Hey Marcel,
Nicht dass was du geschrieben hast falsch wäre, aber wie Mia geschrieben hat, haben wir mehr als einseitige Grenzwerten nicht gemacht.
Das würde heißen, dass uns fast alle Punkte abgezogen werden, falls wir Definitionen benutzen, die noch nicht gelehrt wurden. Wir haben also die Begriffe der Stetigkeit und Folgen noch nicht verbunden.
Kann man das also nicht anders lösen? indem, zum Beispiel, man zeigt, dass der rechtsseitige Grenzwert ungleich mit dem linksseitigen Grenzwert ist?
sprich:
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\ (0^+,0^+)}f(x,y)=\limes_{(x,y)\rightarrow\ (0^+,0^+)}\frac{x^2y^3}{x^4+y^8}=0^+ [/mm] , wobei
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\ (0^-,0^-)}f(x,y)=\limes_{(x,y)\rightarrow\ (0^+,0^+)}\frac{x^4y^3}{x^4+y^8}=0^- [/mm]
weil wir 0^+ und 0^- definiert haben. Ich weiß dass es wie in der Schule aussieht, aber könnte es gar nicht richtig sein?
lg.
arraneo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:04 So 06.01.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
nur eine kleine Bemerkung am Rande: Es gibt keine "rechtsseitigen" und "linksseitigen" Grenzwerte im Mehrdimensionalen, weil es keine sinnvolle Ordnungsrelation gibt.
Wie soll die auch aussehen?
Ist (-1,0) weiter rechts von (0,0) als (-1,1) ? Oder doch nicht?
Die Frage die im Raum steht, ist, wie ihr konkret Stetigkeit im Mehrdimensionalen definiert habt!
Das wäre mal gut zu wissen 
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:13 So 06.01.2013 | | Autor: | arraneo |
Hey Gogo,
Das war natürlich doof von mir ^^. Wir haben aber anscheinend die Stetigkeit in mehr dimensionalen Räumen gar nicht definiert..
also zurück zu was Marcel geschrieben hat.. ^^
vielen Dank für die Mitteilung!
lg. arraneo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:05 So 06.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey Gogo,
>
> Das war natürlich doof von mir ^^.
nein. Du hast halt versucht, irgendwas mit den Mitteln zu machen, die Dir
bislang zur Verfügung stehen. Dass das nicht zusammenpasst, ist schade,
ist aber dann halt so.
> Wir haben aber
> anscheinend die Stetigkeit in mehr dimensionalen Räumen
> gar nicht definiert..
Dann würde ich mich beim Aufgabensteller beschweren. Ihr habt ja
anscheinend weder den Begriff der Stetigkeit im Mehrdimensionalen
noch den Begriff "stetig ergänzbar" definiert. Dann darf man Euch die
Aufgabe nicht stellen, ohne diese Definitionen bei der Aufgabe selbst zu
ergänzen.
> also zurück zu was Marcel geschrieben hat.. ^^
Okay, jetzt einfach mal generell: Alles Wichtige zu Stetigkeit findest Du
![[]](/images/popup.gif) hier, insbesondere Satz 10.7
Den Begriff (stetig fortsetzbar oder stetig ergänzbar (in einem Punkt)) finde
ich gerade nicht in obigem Skript, aber zum einen darf man ja auch mal
googeln, zum anderen habe ich da ja auch was zu geschrieben.
Nichtsdestotrotz: Beim Aufgabensteller "beschweren" würde ich mich
schon, die Aufgabe darf in dieser Form eigentlich gar nicht bewertet
werden. Ich meine: Einerseits soll man selbst in Beweisen nichts benutzen,
was einem nicht zur Verfügung steht. Und jetzt soll man einen Beweis für
eine Aussage führen, bei denen noch nicht mal Begriffe definiert worden
sind, die man braucht, um die Aussage überhaupt verstehen zu können?
Wir sind ja hier nicht in der Politik: Der Aufgabensteller darf nicht einfach
so vorgehen, wie es für ihn immer am besten ist...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 So 06.01.2013 | | Autor: | silfide |
Hallo Leute,
könnte man vllt. das Epsilon-Delta-Kriterium anwenden?
In dem man vllt. ähnlich wie bei dem Diff.-Kriterium (?) mit [mm] x_{0}+h [/mm] bzw. [mm] x_{0}-h [/mm] arbeitet...
Oder bin ich auf dem Holzweg??
Mia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:53 So 06.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Silfide,
> Hallo Leute,
>
> könnte man vllt. das Epsilon-Delta-Kriterium anwenden?
> In dem man vllt. ähnlich wie bei dem Diff.-Kriterium (?)
> mit [mm]x_{0}+h[/mm] bzw. [mm]x_{0}-h[/mm] arbeitet...
naja, eine Funktion [mm] $f\colon \IR^n \to \IR$ [/mm] heißt stetig in [mm] $x^{(0)} \in \IR^n$
[/mm]
genau dann, wenn gilt:
Für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $\delta=\delta_{\varepsilon,x^{(0)}} [/mm] > 0$ derart, dass gilt:
Für alle $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] mit [mm] ${\|x-x^{(0)}\|}_2 [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] gilt [mm] $|f(x)-f(x^{(0)})| [/mm] < [mm] \varepsilon\,.$
[/mm]
Dabei ist [mm] ${\|.\|}_2={\|.\|}_{2,n}$ [/mm] die euklidische Norm des [mm] $\IR^n\,,$ [/mm] d.h.:
[mm] $${\|x\|}_\red{2}:=\left(\sum_{k=1}^n {x_k}^\red{2}\right)^{1/\red{2}}$$
[/mm]
für alle [mm] $x=(x_1,...,x_n) \in \IR^n\,.$
[/mm]
Das passt auch zu der Definition des Skriptes, wann man eine Abbildung
zwischen metrischen Räumen stetig nennt, wenn man bedenkt, dass oben
die Metrik jeweils die durch die Norm induzierte Metrik ist.
Aber wenn Du das so machen willst, brauchst Du Dir trotzdem keinen
abbrechen: Schau' mal in den Beweis (verlinktes Skript in der/den anderen
Antwort(en)), warum bei Funktionen zwischen stetigen Funktionen gilt,
dass
"Stetigkeit [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Folgenstetigkeit"
gilt. (In der Tat gilt da eigentlich sogar ein [mm] $\gdw\,,$ [/mm] und deswegen sagt
man dann auch kurz, dass da "stetig=folgenstetig" gilt.)
Dann kannst Du mit den gefundenen Folgen zeigen, dass eine solche
Funktion [mm] $g\,$ [/mm] wie gewünscht nicht existieren kann - und das geht dann
auch direkt mit dem [mm] $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium [/mm] (was man vielleicht
besser [mm] ${\varepsilon-\delta-x^{(0)}}-\text{Kriterium}$ [/mm] nennen könnte; oder [mm] "$\varepsilon-\delta$-Kriterium [/mm]
an der Stelle [mm] $x^{(0)}$" [/mm] ...).
Die Analogie ist halt einfach, dass man quasi offene Intervalle durch "offene
Kugeln" (man sagt auch 'offene Bälle' oder auch 'offene Umgebung', wobei
es den Begriff der Umgebung auch ein wenig anders gibt) ersetzt. Und
wenn wir jetzt wollten, könnten wir auch allgemein eine Definition
hinschreiben, wann eine Funktion
[mm] $$f\colon \IR^n \to \IR^{\red{m}}$$
[/mm]
stetig in [mm] $x^{(0)} \in \IR^n$ [/mm] heißen soll.
Das macht das ganze aber nicht besser: Insbesondere deshalb nicht, weil
man jetzt nicht selbst sinnvolle Definitionen für einen Begriff, den der
Aufgabensteller nicht definiert hat, selber zusammenbasteln sollte; ich
könnte ja bescheuerterweise auch einfach sagen, dass ich einfach
definiere: "$f [mm] \colon \IR^n \to \IR$ [/mm] heißt genau dann stetig in [mm] $x^{(0)} \in \IR^n\,,$ [/mm] wenn [mm] $f(x^{(0)})=0$ [/mm] gilt."
Dass das irgendwie "totaler Quatsch" ist, wenn man sich mit
Stetigkeitsbegriffen auskennt, ist eine andere Sache. Ich kann aber einen
Begriff, der noch nicht definiert wurde, eigentlich erstmal definieren, wie
immer ich gerade will. (Solange es vielleicht nicht gerade was total in sich
Widersprüchliches ist...)
Und selbst, wenn man sich diesen Begriff (Stetigkeit in [mm] $x^{(0)} \in \IR^n$
[/mm]
für eine Funktion [mm] $f\colon \IR^n \to \IR$) [/mm] doch irgendwie richtig definiert
hat: Jetzt soll man sich auch noch selbst einen weiteren Begriff, und zwar
den Begriff "stetig ergänzbar an einer Stelle ..." noch selbst vernünftig
definieren? Dann kann man auch selbst anfangen und sich selbst eine
Vorlesung zusammenschreiben. Wenn jemand eine Aufgabe stellt, wo
Begriffe verwendet werden, die gemäß des Vorlesungsstandes noch nicht
bekannt sind, dann hat dieser jemand zusätzliches zu tun:
1. Er kann die Begriffe selbst auf dem Aufgabenzettel definieren,
ergänzend zur Vorlesung. Wichtig ist dabei, dass er dabei auch wieder
nichts benutzt, was noch nicht bekannt ist, oder es muss darauf
hingewiesen werden, dass das ohne Beweis benutzt werden darf. (Ist
dann aber auch so ein wenig eine "Glaubensfrage"; denn das heißt, jede
Person, die die Aufgabe bearbeitet, soll "glauben", dass das so stimmt.)
2. Er verweist auf Literatur, wo man die Begriffe entsprechend definiert
findet, und auch da muss das dann so sein, dass das zur Vorlesung passt.
Vielleicht gibt's noch Alternativen, aber normalerweise macht man das so,
dass dann 1. oder 2. durchgeführt werden (manchmal auch beide Punkte).
Also: Wenn Du die Aufgabe bearbeiten willst, kannst Du durchaus auch so
"dreist" sein, meine Definition hier von "stetig ergänzbar in $(0,0)$"
hinschreiben, und sagen, das nun zu zeigen ist, dass eine solche Funktion
[mm] $g\,$ [/mm] wie gewünscht nicht existieren kann. Und dann verweist Du einfach
auf das Skript, wo die Charakterisierung "stetig=folgenstetig" steht und
mit den Folgen, die ich Dir angegeben habe, das alles hinschreiben. Wenn
sich der Korrektor dann beschwert, dass ihr "stetig=folgenstetig" noch gar
nicht hattet, beschwerst Du Dich halt, dass die Begriffe, um die Aufgabe zu
bearbeiten, ja eh noch nicht zur Verfügung gestanden hätten. Das würde
ich jedenfalls so machen - ganz unverfroren.
Was anderes ist es aber, wenn diese Begriffe irgendwann und irgendwo
"nachgeliefert" worden sind, und ihr auch drauf hingewiesen worden seit.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Di 08.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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