Stetig behebbar < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo. Ich habe eine ganz wichtige Frage. Wir haben leider nie so direkt über stetig behebbare Definitionslücken gesprochen, sodass es mir leider nicht möglich ist, solche Lücken bisher erfolgreich zu beheben. Alles was ich im Prinizip weiß, ist, dass man das über einen Grenzwert bestimmen kann. Nehmen wir doch mal eine einfachew Funktion wie z.b [mm] f(x)=\bruch{1}{x}. [/mm] Diese ist ja nun stetig für [mm] x\in\IR\backslash\{0\}, [/mm] das heißt sie ist in x=0 nicht definiert. Wie kann ich nun aber diese Funktion stetig ergänzen im Punkt x=0? Ich habe irgendwie keinen blassen schimmer... sorry.
Mit freundlichen Grüßen domenigge135
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:55 Mi 26.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo domenigge!
Da hast Du Dir aber ausgerechnet ein Beispiel ausgesucht, welches nicht stetig ergänzbar ist. Denn schließlich erhält man hier für die entsprechende Grenzwertbetrachtung keinen konkreten Grenzwert.
Prinzipiell klingt Deine Vorgehensweise gut. Versuche es doch ma z.B. mit der Funktion: $f(x) \ = \ [mm] \bruch{x+1}{x^2-1}$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ -1$ .
Gruß
Loddar
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Also gut da ich das Argument [mm] \bruch{0}{0} [/mm] erhalte, war ich bsher immer der Meinung, dass ich das über L_hospital machen kann. Allerdings weiß ich jetzt schon, dass du mir sagen wirst, dass das falsch ist, schon zig mal ausprobiert. Alleridings immer eine falsche Lösung bekommen warum???
Ich hatte desweiteren herausgefunden, dass ich [mm] \bruch{x+1}{x^2-1} [/mm] umschreiben kann in [mm] \bruch{x+1}{(x+1)(x-1)} [/mm] wenn ich nun x+1 herauskürze, erhalte ich [mm] \bruch{1}{x-1} [/mm] und letzendlich [mm] \limes_{x\rightarrow\ -1}\bruch{1}{x-1}=-\bruch{1}{2}
[/mm]
Allerdings gibt es ja noch weitere Funktionen wie z.B. [mm] \bruch{\wurzel{x}-1}{x-1}. [/mm] Wie könnte ich diese an der STelle x=1 beheben
Oder die Funktion [mm] arctan\bruch{1}{x}. [/mm] wie kann ich diese an der Stelle x=0 beheben???
Mit freundlichen Grüßen domenigge135
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Mi 26.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Also gut da ich das Argument [mm]\bruch{0}{0}[/mm] erhalte, war ich
> bsher immer der Meinung, dass ich das über L_hospital
> machen kann. Allerdings weiß ich jetzt schon, dass du mir
> sagen wirst, dass das falsch ist, schon zig mal
> ausprobiert. Alleridings immer eine falsche Lösung bekommen
> warum???
>
> Ich hatte desweiteren herausgefunden, dass ich
> [mm]\bruch{x+1}{x^2-1}[/mm] umschreiben kann in
> [mm]\bruch{x+1}{(x+1)(x-1)}[/mm] wenn ich nun x+1 herauskürze,
> erhalte ich [mm]\bruch{1}{x-1}[/mm] und letzendlich
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ -1}\bruch{1}{x-1}=-\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Allerdings gibt es ja noch weitere Funktionen wie z.B.
> [mm]\bruch{\wurzel{x}-1}{x-1}.[/mm] Wie könnte ich diese an der
> STelle x=1 beheben
Hallo, indem du x-1 als [mm] (\wurzel{x}-1)*(\wurzel{x}+1) [/mm] schreibst und anschließend kürzt.
Generell kannst du jede stetige Funktion an einer Stelle hebbar unstetig machen, indem du sie mit [mm] \bruch{t(x)}{t(x)} [/mm] multiplizierst (wobei der Term t(x) an irgendeiner Stelle Null ist).
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> Oder die Funktion [mm]arctan\bruch{1}{x}.[/mm] wie kann ich diese an
> der Stelle x=0 beheben???
Nein, denn da existiert nicht mal ein Grenzwert gegen Null, und so können links- und rechsseitiger Grenzwert auch nicht übereinstimmen.
Gruß Abakus
>
> Mit freundlichen Grüßen domenigge135
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Mi 26.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo domenigge!
Es spricht nichts dagegen, den entsprechenden Grenzwert (sofern er existiert) mit de l'Hospital zu bestimmen.
Gruß
Loddar
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Okay alles klar. Nehmen wir nochmal die Funktion [mm] f(x)=\bruch{x+1}{x^2-1} [/mm] diese war ja in [mm] f(x)=-\bruch{1}{2} [/mm] stetig ergänzbar könnte ich nun zum Beweis der Stetigkeit auch [mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{x+1}{x^2-1} & \mbox{für } x\not=-1 \mbox{} \\ -\bruch{1}{2}, & \mbox{für } x=-1 \mbox{} \end{cases} [/mm] schreiben???
Mit freunldichen Grüßen domenigge135
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Mi 26.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo domenigge!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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Alles klar ging ja schnell. Dankeschön
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