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Sei (M,d) metrischer Raum und [mm]A\subset M, x\in M[/mm]. Sei [mm]dist(x,A):=inf\{d(x,y)|y\in A\}[/mm]. Zeigen Sie, dass [mm]dist(*, A):M\rightarrow\IR[/mm] stetig ist.
Mir ist grundsätzlich klar, wieso die Abbildung stetig ist, aber wie sieht es mathematisch sauber aus?
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Z.z. ist also f(x)=dist(x,A) stetig mit (X,d) metrischer Raum und [mm] A\subsetX.
[/mm]
Für alle x,y aus X und alle a aus A gilt
[mm] dist(y,A)\le d(y,A)\le [/mm] d(y,x)+d(x,a) (Dreiechsungleichung),
also gilt für alle x,y aus X
[mm] dist(y,A)\le [/mm] d(y,x)+dist(x,A),
und deshalb also [mm] |dist(y,A)-dist(x,A)|\le [/mm] d(y,x).
Betrachte nun die [mm] \varepsilon-\delta-Definition [/mm] der Stetigkeit.
Wähle [mm] \delta=\varepsilon. [/mm] Dann folgt sofort die gleichmäßige Stetigkeit.
Alles klar? Der letzte Schritt ist wirklich ganz leicht.
VG mathmetzsch
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:09 Mo 18.12.2006 | | Autor: | maybe. |
> also gilt für alle x,y aus X
> [mm]dist(y,A)\le[/mm] d(y,x)+dist(x,A),
> und deshalb also [mm]|dist(y,A)-dist(x,A)|\le[/mm] d(y,x).
kann mir das jemand erklaeren ?
es folgt ja aus
[mm]dist(y,A)\le[/mm] d(y,x)+dist(x,A),
[mm]dist(y,A)-dist(x,A)\le[/mm] d(y,x)
und mir ist auch klar dass dist(y,A),dist(x,A)≥0 sind, aber wie komme ich auf
[mm]|dist(y,A)-dist(x,A)|\le[/mm] d(y,x)??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:42 Mo 18.12.2006 | | Autor: | SEcki |
> kann mir das jemand erklaeren ?
Vertausche die Rollen von x und y und du erhälst die Ungleichung mit andrem Vorzeichen.
SEcki
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> Z.z. ist also f(x)=dist(x,A) stetig mit (X,d) metrischer
> Raum und [mm]A\subsetX.[/mm]
>
> Für alle x,y aus X und alle a aus A gilt
> [mm]dist(y,A)\le d(y,A)\le[/mm] d(y,x)+d(x,a)
> (Dreiechsungleichung),
> also gilt für alle x,y aus X
> [mm]dist(y,A)\le[/mm] d(y,x)+dist(x,A),
> und deshalb also [mm]|dist(y,A)-dist(x,A)|\le[/mm] d(y,x).
>
> Betrachte nun die [mm]\varepsilon-\delta-Definition[/mm] der
> Stetigkeit.
>
> Wähle [mm]\delta=\varepsilon.[/mm] Dann folgt sofort die
> gleichmäßige Stetigkeit.
>
> Alles klar?
Nicht ganz. Mir wird der Zusammenhang zwischen der letzten Ungleichung und der eigentlichen Stetigkeit nicht klar.
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Die Stetigkeit von [mm] d_{A} [/mm] folgt, wenn wir zeigen können, dass folg. Bedingung erfüllt ist: [mm] |d_{A}(x)-d_{A}(y)|\le [/mm] d(x,y) [mm] \forall x,y\inX [/mm]
mit [mm] d_{A}:X\to[0,\infty), d_{A}(x)=inf(d(x,a)) [/mm] mit [mm] a\in [/mm] A.
Seien x,y aus X und [mm] \varepsilon>0 [/mm] beliebig. Wähle ein [mm] a\inA [/mm] mit [mm] d(y,a)-\varepsilon\le d_{A}(y). [/mm] Dann gilt:
[mm] d_{A}(x)-d_{A}(y)\le d(x,a)-d(y,a)-\varepsilon)\le d(x,y)+d(y,a)-d(y,a)+\varepsilon=d(x,y)+\varepsilon
[/mm]
Da [mm] \varepsilon>0 [/mm] beliebig war, folgt [mm] d_{A}(x)-d_{A}(y)\le [/mm] d(x,y). Eventuell nach Vertauschung von x mit y folgt [mm] |d_{A}(x)-d_{A}(y)|\le [/mm] d(x,y). [mm] \Box
[/mm]
So jetzt ist das aber klar oder? Das ersten Posting war im Prinzip nur Vorarbeit.
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