Stetig ? Differenzierbar ? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:34 Mi 28.12.2005 | | Autor: | Lavanya |
| Aufgabe | Sei f (x) = x fuer x<1 und f(x) = [mm] \bruch{ x^{2}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] fuer
x [mm] \ge1 [/mm] . Ist f ueberall differenzierbar ? Bestimmen Sie f' an allen Stellen, an denen es existiert. Ist f' auf seinem Definitionsbereich stetig und Ist f' auf seinem Definitionsbereich differenzierbar ? |
Ohhhhhhhh gott, kann ich da nur sagen.
kann mir hier jemand weiter helfen? Wie muss ich hier anfangen ?
Gruss Lavanya
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 Mi 28.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lavanya!
Damit eine Funktion an einer Stelle [mm] $x_0$ [/mm] differenzierbar ist, muss sie an dieser Stelle stetig sein und für die Ableitungsfunktion müssen sowohl der rechtsseitige Grenzwert und der linksseitige Grenzwert existieren und übereinstimmen.
[mm] f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für }x \ < \ 1 \mbox{} \\ \bruch{x^2}{2}+\bruch{1}{2}, & \mbox{für } x \ \ge \ 1 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
In den Bereichen rechts und links der "Nahtstelle" [mm] $x_0=1$ [/mm] besteht die Funktion aus differenzierbaren Teilfunktionen.
Hierfür können wir die Ableitungsfunktion bereits angeben:
[mm] f'(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für }x \ < \ 1 \mbox{} \\ x, & \mbox{für } x \ \red{>} \ 1 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Kritisch ist also die Nahtstelle bei [mm] $x_0=1$ [/mm] . Hier müssen wir nun die beiden Grenzwerte ermitteln und vergleichen:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 1\uparrow}f'(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 1\uparrow}1 [/mm] \ = \ ...$
sowie
[mm] $\limes_{x\rightarrow 1\downarrow}f'(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 1\downarrow}x [/mm] \ = \ ...$
Wenn diese beiden Grenzwerte übereinstimmen, ist die Funktion auch an der Stelle [mm] $x_0=1$ [/mm] differenzierbar (weil ja eine eindeutige Ableitung vorliegt).
Um nun auch [mm] $f\red{'}$ [/mm] auf seine Differenzierbarkeit zu überprüfen, muss diese Untersuchung dann auch für [mm] $f\red{''}$ [/mm] durchgeführt werden. Da sollte das Ergebnis aber schnell ersichtlich sein.
Gruß
Loddar
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