Stetig-und Differenzierbarkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:21 Do 30.06.2011 | | Autor: | winler |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Gegeben ist eine Funktion f mit f : $ \IR \to \IR $
$ x \to e^{- \left | x \right |}$
(a) Zeigen Sie, dass f im gesamten Definitionsberreich stetig ist.
(b) Ermitteln Sie die erste Ableitung für alle $ x \in \IR \setminus \left\{ 0\right \} $
(c) Zeigen Sie, dass f in x = 0 nicht differenzierbar ist. Arbeiten Sie dabei über den Grenzwert des Differenzenquotienten und die Exponentialreihe. |
Hallo zusammen :),
ich nerv euch wieder mit meinen kleinen Problemen :P ! Vorweg: Mit der Stetigkeit kann ich nicht so viel anfangen :)!
zu (1)
Kann man allgemein sagen, dass die Funktion eine verkettete ist nämlich mit g(f(x)) wobei g = $ e^x$ und f(x) = $ \left| x\right|$ ?? Dann wäre ja $ e^x$ stetig und f(x) auch wegen der Kettenregel?! Oder täusch ich mich und das ist der ganz falsche Ansatz^^?
zu (b)
da f $ x \to e^{- \left | x \right |}$
ist Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$ e^{^{- \left | x \right |} * (-1)$ $ x \in \IR \setminus \left\{ 0\right \} $??
zu (c)
habe ich keinen Ansatz! muss man da
die Ableitung in 0 Ausrechnen?
also $ [mm] \limes_{h \to \0} \bruch{e^{x+h} - e^x}{h}$ [/mm] ??
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Hallo winler,
> Gegeben ist eine Funktion f mit f : [mm]\IR \to \IR [/mm]
>
> [mm]x \to e^{- \left | x \right |}[/mm]
>
> (a) Zeigen Sie, dass f im gesamten Definitionsberreich
> stetig ist.
> (b) Ermitteln Sie die erste Ableitung für alle [mm]x \in \IR \setminus \left\{ 0\right \}[/mm]
>
> (c) Zeigen Sie, dass f in x = 0 nicht differenzierbar ist.
> Arbeiten Sie dabei über den Grenzwert des
> Differenzenquotienten und die Exponentialreihe.
> Hallo zusammen :),
> ich nerv euch wieder mit meinen kleinen Problemen :P !
> Vorweg: Mit der Stetigkeit kann ich nicht so viel anfangen
> :)!
> zu (1)
> Kann man allgemein sagen, dass die Funktion eine
> verkettete ist nämlich mit g(f(x)) wobei g = [mm]e^x[/mm] und f(x)
> = [mm]\left| x\right|[/mm] ?? Dann wäre ja [mm]e^x[/mm] stetig und f(x) auch
> wegen der Kettenregel?! Oder täusch ich mich und das ist
> der ganz falsche Ansatz^^?
Nee, das ist schon in Ordnung, alternativ kannst du die Funktion mal betragfrei aufschreiben. Dann siehst du, dass die einzig kritische Stelle [mm]x_0=0[/mm] ist.
Dort wäre dann [mm]\lim\limits_{x\uparrow 0}f(x)[/mm] und [mm]\lim\limits_{x\downarrow 0}f(x)[/mm] zu bestimmen. Im Falle der Existenz beider GWe und ihrer Gleichheit hättest du dann auch Stetigkeit in 0.
Aber dein Argument ist so sehr gut, kannst du so stehenlassen 
>
>
> zu (b)
> da f [mm]x \to e^{- \left | x \right |}[/mm]
> ist [mm]e^{^{- \left | x \right |} * (-1)[/mm]
> [mm]x \in \IR \setminus \left\{ 0\right \} [/mm]??
Schreib die Kogge betragsfrei:
[mm]x>0\Rightarrow f(x)=e^{-x}\Rightarrow f'(x)=\ldots[/mm]
[mm]x<0\Rightarrow f(x)=e^x\Rightarrow f'(x)=\ldots[/mm]
>
> zu (c)
> habe ich keinen Ansatz! muss man da
> die Ableitung in 0 Ausrechnen?
> also [mm]\limes_{h \to \0} \bruch{e^{x+h} - e^x}{h}[/mm]
Ja, das sollte lt. Aufgabenstellung nicht existieren.
Untersuche den links- und rechtsseitigen Limes des Differenzenquotienten, also
[mm]\lim\limits_{h\to 0, h<0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}[/mm] und [mm]\lim\limits_{h\to 0, h>0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}[/mm]
Was ist $f(0)$ und was entsprechend den Werten von $h$ dann $f(h)$ ?
Dann setze die Reihendarstellung ein für [mm] $e^h$ [/mm] bzw. [mm] $e^{-h}$
[/mm]
> ??
>
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Do 30.06.2011 | | Autor: | winler |
> Hallo winler,
>
>
> > Gegeben ist eine Funktion f mit f : [mm]\IR \to \IR[/mm]
> >
>
> > [mm]x \to e^{- \left | x \right |}[/mm]
>
> >
> > (a) Zeigen Sie, dass f im gesamten Definitionsberreich
> > stetig ist.
> > (b) Ermitteln Sie die erste Ableitung für alle [mm]x \in \IR \setminus \left\{ 0\right \}[/mm]
>
> >
> > (c) Zeigen Sie, dass f in x = 0 nicht differenzierbar ist.
> > Arbeiten Sie dabei über den Grenzwert des
> > Differenzenquotienten und die Exponentialreihe.
> > Hallo zusammen :),
> > ich nerv euch wieder mit meinen kleinen Problemen :P !
> > Vorweg: Mit der Stetigkeit kann ich nicht so viel anfangen
> > :)!
> > zu (1)
> > Kann man allgemein sagen, dass die Funktion eine
> > verkettete ist nämlich mit g(f(x)) wobei g = [mm]e^x[/mm] und f(x)
> > = [mm]\left| x\right|[/mm] ?? Dann wäre ja [mm]e^x[/mm] stetig und f(x) auch
> > wegen der Kettenregel?! Oder täusch ich mich und das ist
> > der ganz falsche Ansatz^^?
>
> Nee, das ist schon in Ordnung, alternativ kannst du die
> Funktion mal betragfrei aufschreiben. Dann siehst du, dass
> die einzig kritische Stelle [mm]x_0=0[/mm] ist.
>
> Dort wäre dann [mm]\lim\limits_{x\uparrow 0}f(x)[/mm] und
> [mm]\lim\limits_{x\downarrow 0}f(x)[/mm] zu bestimmen. Im Falle der
> Existenz beider GWe und ihrer Gleichheit hättest du dann
> auch Stetigkeit in 0.
>
> Aber dein Argument ist so sehr gut, kannst du so
> stehenlassen
>
> >
> >
> > zu (b)
> > da f [mm]x \to e^{- \left | x \right |}[/mm]
> > ist
> [mm]e^{^{- \left | x \right |} * (-1)[/mm]
> > [mm]x \in \IR \setminus \left\{ 0\right \} [/mm]??
>
> Schreib die Kogge betragsfrei:
>
[mm]x>0\Rightarrow f(x)=e^{-x}\Rightarrow f'(x)=(-1) * e^{-x}[/mm]
>
[mm]x<0\Rightarrow f(x)=e^x\Rightarrow f'(x)= e^x[/mm]
>
> >
> > zu (c)
> > habe ich keinen Ansatz! muss man da
> > die Ableitung in 0 Ausrechnen?
> > also [mm]\limes_{h \to \0} \bruch{e^{x+h} - e^x}{h}[/mm]
>
> Ja, das sollte lt. Aufgabenstellung nicht existieren.
>
> Untersuche den links- und rechtsseitigen Limes des
> Differenzenquotienten, also
>
> [mm]\lim\limits_{h\to 0, h<0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}[/mm] und
> [mm]\lim\limits_{h\to 0, h>0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}[/mm]
>
> Was ist [mm]f(0)[/mm] und was entsprechend den Werten von [mm]h[/mm] dann
> [mm]f(h)[/mm] ?
>
> Dann setze die Reihendarstellung ein für [mm]e^h[/mm] bzw. [mm]e^{-h}[/mm]
>
> > ??
> >
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
zu (c) dann wäre
$ [mm] \lim\limits_{h\to 0, h<0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} [/mm] $
= $ [mm] \lim\limits_{h\to 0, h<0}\frac{(1*e^{h})-1}{h} [/mm] $
[mm] =$\lim\limits_{h\to 0, h<0} \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{ h^{i-1}} [/mm] {v!}$
| $ [mm] \not=0 [/mm] $ bei i = 1 also existiert der Grenzwert nicht und die Funktion ist nich differenzierbar im Punkt 0?
bei $ [mm] \lim\limits_{h\to 0, h<0}$ [/mm] wäre es ja das gleich Spiel oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 Do 30.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> zu (c) dann wäre
> [mm]\lim\limits_{h\to 0, h<0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}[/mm]
>
> = [mm]\lim\limits_{h\to 0, h<0}\frac{(1*e^{h})-1}{h}[/mm]
>
> =[mm]\lim\limits_{h\to 0, h<0} \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{ h^{i-1}} {v!}[/mm]
bis hierher richtig.
> | [mm]\not=0[/mm] bei i = 1 also existiert der Grenzwert nicht und
> die Funktion ist nich differenzierbar im Punkt 0?
hallo der GW hier existiert und ist [mm] h^0=1
[/mm]
> bei [mm]\lim\limits_{h\to 0, h<0}[/mm] wäre es ja das gleich Spiel
> oder?
nur beinahe das gleiche! rechne den GW aus!
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 Do 30.06.2011 | | Autor: | winler |
> Hallo
>
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> > zu (c) dann wäre
> > [mm]\lim\limits_{h\to 0, h<0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}[/mm]
> >
> > = [mm]\lim\limits_{h\to 0, h<0}\frac{(1*e^{h})-1}{h}[/mm]
> >
> > =[mm]\lim\limits_{h\to 0, h<0} \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{ h^{i-1}} {v!}[/mm]
>
> bis hierher richtig.
> > | [mm]\not=0[/mm] bei i = 1 also existiert der Grenzwert nicht
> und
> > die Funktion ist nich differenzierbar im Punkt 0?
hallo der GW hier existiert und ist [mm]h^0=1[/mm] || Frage wäre er nicht -1 da h < 0 ???
> > bei [mm]\lim\limits_{h\to 0, h<0}[/mm] wäre es ja das gleich
> Spiel
> > oder?
> nur beinahe das gleiche! rechne den GW aus!
> Gruss leduart
>
$ [mm] \lim\limits_{h\to 0, h>0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} [/mm] $
= $ [mm] \lim\limits_{h\to 0, h<0}\frac{(1\cdot{}e^{h})-1}{h} [/mm] $
=$ [mm] \lim\limits_{h\to 0, h<0} \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{ h^{i-1}} [/mm] {v!} $
also wäre der Grenzwert wieder 1 ?? da wenn das mit -1 stimmt die Grenzwerte verschieden sind ist
die Funktion ist nich differenzierbar im Punkt 0?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:28 Fr 01.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hatte übersehen, dass da h<0 stand. dann fängt die reihe ja mit 1+h+höhere Potenzen
an (1+h-1+...)/|h|=-1+h/2!+..
sieh dir die Steigung von [mm] e^{-x} [/mm] bei 0 an!
Gruss leduart
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