Stetig-& Differenzierbarkeit < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Fr 17.10.2008 | | Autor: | AbiGoere |
| Aufgabe | Gegebene Funktionen:
[mm] f(x)=x^2-2x [/mm] für [mm]x<3[/mm]
[mm] f(x)=\bruch{x^3}{6}-\bruch{x}{2} [/mm] für [mm] x\ge3
[/mm]
Differenzierbar an der Stelle: [mm] x_0 [/mm] = 3 |
Hallo Zusammen!
Ich bin ganz neu hier und habe mich schon durch sämtliche Fragen zur Differenzierbarkeit gelesen, aber ich versteh's einfach nicht. *heul*
Ich soll herausfinden, ob die Stelle [mm] x_0=3 [/mm] differenzierbar ist, also nehme ich:
[mm]\limes_{x\rightarrow\x_0}=\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm]
und setzte die erste Funktion ein, um den linksseitigen Grenzwert auszurechnen: Oder?!
[mm]\limes_{x\rightarrow\-3-}=\bruch{x^2-2x-(3^2-2*3)}{x-3}[/mm]
dann bekomm ich:
[mm]\limes_{x\rightarrow\-3-}=\bruch{x^2-2x-3}{x-3}[/mm]
...und dann verlassen mich die "guten Mathe-Geister"!!
Ich weiß absolut nicht weiter und bitte dringend um EURE Hilfe!!!
*Lg* AbiGoere
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo AbiGoere und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Gegebene Funktionen:
>
> [mm]f(x)=x^2-2x[/mm] für [mm]x<3[/mm]
>
> [mm]f(x)=\bruch{x^3}{6}-\bruch{x}{2}[/mm] für [mm]x\ge3[/mm]
>
> Differenzierbar an der Stelle: [mm]x_0[/mm] = 3
> Hallo Zusammen!
>
> Ich bin ganz neu hier und habe mich schon durch sämtliche
> Fragen zur Differenzierbarkeit gelesen, aber ich versteh's
> einfach nicht. *heul*
>
> Ich soll herausfinden, ob die Stelle [mm]x_0=3[/mm] differenzierbar
> ist, also nehme ich:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}=\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm]
>
> und setzte die erste Funktion ein, um den linksseitigen
> Grenzwert auszurechnen: Oder?!
Ja, denn für den linksseitigen Limes näherst du dich der 3 von links, also sind die x in diesem Falle <3, also greift hier "die erste Definition"
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\-3-}=\bruch{x^2-2x-(3^2-2*3)}{x-3}[/mm]
Das Ergebnis stimmt so, aber du hast $f(3)$ falsch eingesetzt, für $x=3$ ist [mm] $f(x)=\frac{x^3}{6}-\frac{x}{2}$, [/mm] also $f(3)$ ebenfalls 3 - Glück gehabt 
>
> dann bekomm ich:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\-3-}=\bruch{x^2-2x-3}{x-3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Finde mal die Nullstellen des Zählers, dann kannst du den Zähler faktorisieren, also als Produkt von Linearfaktoren schreiben
Dann mache den Grenzübergang $x\to 3^-$
Anschließend betrachte den rechtsseitigen Limes, also $\lim\limits_{x\to 3^+}{\frac{f(x)-f(3)}{x-3}$ und schaue, ob er existiert und gleich dem linksseitigen Limes ist, dann hättest du gewonnen
>
> ...und dann verlassen mich die "guten Mathe-Geister"!!
>
> Ich weiß absolut nicht weiter und bitte dringend um EURE
> Hilfe!!!
>
> *Lg* AbiGoere
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Fr 17.10.2008 | | Autor: | AbiGoere |
Erstmal vielen lieben Dank für das Schild ---> und die schnelle Antwort !!!
Aber eins Versteht ich nicht so ganz: ich hab zwei "Definitionen"(!!!)
> > Gegebene Funktionen:
> >
> > [mm]f(x)=x^2-2x[/mm] für [mm]x<3[/mm]
> >
> > [mm]f(x)=\bruch{x^3}{6}-\bruch{x}{2}[/mm] für [mm]x\ge3[/mm]
... dachte, eine ist für den linsseitigen Limes (x<3) und eine für den rechtsseitigen Limes [mm](x\ge3)[/mm].
> > Ich soll herausfinden, ob die Stelle [mm]x_0=3[/mm] differenzierbar
> > ist, also nehme ich:
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}=\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm]
> >
> > und setzte die erste Funktion ein, um den linksseitigen
> > Grenzwert auszurechnen: Oder?!
>
> Ja, denn für den linksseitigen Limes näherst du dich der 3
> von links, also sind die x in diesem Falle <3, also greift
> hier "die erste Definition"
>
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\-3-}=\bruch{x^2-2x-(3^2-2*3)}{x-3}[/mm]
**********************
> Das Ergebnis stimmt so, aber du hast [mm]f(3)[/mm] falsch
> eingesetzt,
****
Das versteh ich nun irgendwie nicht... *rotwerd*
Ich setze doch [mm]f(3)[/mm] für [mm]x_0[/mm] ein, da [mm]x_0=3[/mm] ist, oder nicht?!
****
Und Du hast jetzt in die 2. Definition die 3 eingesetzt und ausgerechnet?!
****
für [mm]x=3[/mm] ist [mm]f(x)=\frac{x^3}{6}-\frac{x}{2}[/mm],
> also [mm]f(3)[/mm] ebenfalls 3 - Glück gehabt
***
Da mach ich doch mal die Probe:
[mm]f(x)=\frac{x^3}{6}-\frac{x}{2}[/mm] [mm] \gdw[/mm] [mm]f(3)=\frac{3^3}{6}-\frac{3}{2}[/mm] [mm] \gdw[/mm] [mm]f(3)=\frac{27}{6}-\frac{3}{2}[/mm] [mm] \gdw[/mm] [mm]f(3)=\frac{27}{6}-\frac{9}{6}[/mm] [mm] \gdw[/mm] [mm]f(3)=\frac{18}{6}[/mm] entpricht [mm]F(3)=3[/mm]
Okay, aber was sagt mir das jetzt?!
Den rechtseitigen Limes muss ich doch trotzdem mit der 2. Definition rechnen, oder?! 8( *ich bin verwirrt*
*****
> > dann bekomm ich:
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\-3-}=\bruch{x^2-2x-3}{x-3}[/mm]
>
>
>
> Finde mal die Nullstellen des Zählers, dann kannst du den
> Zähler faktorisieren, also als Produkt von Linearfaktoren
> schreiben
Ich weiß schon gar nicht mehr, wie man Nullstellen herausfindet... erst "Nullsetzen" und dann, je nachdem wie die Funktion aussieht, mit einem geeigneten Verfahren berechnen, oder?!
Und Du meinst auch den Zähler: [mm]x^2-2x-3[/mm] ???
******************
> Dann mache den Grenzübergang [mm]x\to 3^-[/mm]
>
> Anschließend betrachte den rechtsseitigen Limes, also
> [mm]\lim\limits_{x\to 3^+}{\frac{f(x)-f(3)}{x-3}[/mm] und schaue, ob
> er existiert und gleich dem linksseitigen Limes ist, dann
> hättest du gewonnen
>
> >
> > ...und dann verlassen mich die "guten Mathe-Geister"!!
Tut mir leid, dass ich so viel nachfrage, aber ich bin wirklich verwirrt, jetzt so, irgendwie..!?!
Aber vielen lieben Dank, schachuzipus, für Deine "erste Hilfe" !!! ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
>
>
>
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Hallo nochmal,
> Erstmal vielen lieben Dank für das Schild --->
> und die schnelle Antwort !!!
>
> Aber eins Versteht ich nicht so ganz: ich hab zwei
> "Definitionen"(!!!)
Ja, man nennt das eine geteilte Definition
>
> > > Gegebene Funktionen:
> > >
> > > [mm]f(x)=x^2-2x[/mm] für [mm]x<3[/mm]
> > >
> > > [mm]f(x)=\bruch{x^3}{6}-\bruch{x}{2}[/mm] für [mm]x\ge3[/mm]
>
> ... dachte, eine ist für den linsseitigen Limes (x<3) und
> eine für den rechtsseitigen Limes [mm](x\ge3)[/mm].
Ja, du stellst den Quotienten [mm] $\frac{f(x)-f(3)}{x-3}$ [/mm] auf und näherst dich mit den x einmal von unten (links), dort ist x<3 und einmal von oben (rechts), dort ist x>3
Je nach Richtung musst du die entsprechende Definition für die Funktion f verwenden
>
>
> > > Ich soll herausfinden, ob die Stelle [mm]x_0=3[/mm] differenzierbar
> > > ist, also nehme ich:
> > >
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}=\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm]
> > >
> > > und setzte die erste Funktion ein, um den linksseitigen
> > > Grenzwert auszurechnen: Oder?! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> >
> > Ja, denn für den linksseitigen Limes näherst du dich der 3
> > von links, also sind die x in diesem Falle <3, also greift
> > hier "die erste Definition"
> >
> > >
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow\-3-}=\bruch{x^2-2x-(3^2-2*3)}{x-3}[/mm]
>
> **********************
> > Das Ergebnis stimmt so, aber du hast [mm]f(3)[/mm] falsch
> > eingesetzt,
> ****
> Das versteh ich nun irgendwie nicht... *rotwerd*
> Ich setze doch [mm]f(3)[/mm] für [mm]x_0[/mm] ein, da [mm]x_0=3[/mm] ist, oder
> nicht?!
> ****
Ja, aber für [mm] $x_0\red{=}3$ [/mm] ist doch die Funktion wie definiert?
> Und Du hast jetzt in die 2. Definition die 3 eingesetzt
> und ausgerechnet?!
> ****
> für [mm]x=3[/mm] ist [mm]f(x)=\frac{x^3}{6}-\frac{x}{2}[/mm],
> > also [mm]f(3)[/mm] ebenfalls 3 - Glück gehabt
> ***
> Da mach ich doch mal die Probe:
>
> [mm]f(x)=\frac{x^3}{6}-\frac{x}{2}[/mm] [mm]\gdw[/mm]
> [mm]f(3)=\frac{3^3}{6}-\frac{3}{2}[/mm] [mm]\gdw[/mm]
> [mm]f(3)=\frac{27}{6}-\frac{3}{2}[/mm] [mm]\gdw[/mm]
> [mm]f(3)=\frac{27}{6}-\frac{9}{6}[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]f(3)=\frac{18}{6}[/mm]
> entpricht [mm]F(3)=3[/mm]
>
> Okay, aber was sagt mir das jetzt?!
Dass du f(3) mit der falschen Funktion berechnet hast, aber das zum Glück nichts ausgemacht hat, da f(3) mit der "richtigen" Funktion ebenfalls f(3)=3 ergibt
>
> Den rechtseitigen Limes muss ich doch trotzdem mit der 2.
> Definition rechnen, oder?! 8( *ich bin verwirrt*
> *****
Ja, denn dort näherst du dich von oben, also oberhalb von [mm] x_0=3, [/mm] es sind die x dort also >3
> > > dann bekomm ich:
> > >
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow\-3-}=\bruch{x^2-2x-3}{x-3}[/mm]
> >
> >
> >
> > Finde mal die Nullstellen des Zählers, dann kannst du den
> > Zähler faktorisieren, also als Produkt von Linearfaktoren
> > schreiben
>
> Ich weiß schon gar nicht mehr, wie man Nullstellen
> herausfindet... erst "Nullsetzen" und dann, je nachdem wie
> die Funktion aussieht, mit einem geeigneten Verfahren
> berechnen, oder?!
> Und Du meinst auch den Zähler: [mm]x^2-2x-3[/mm] ???
> ******************
genau den!
p/q-Formel oder Vieta ...
Im Hinblick auf die Aufgabe kannst du probieren, ob im Zähler der Faktor (x-3) steckt, also ob der Zähler eine NST x=3 hat ...
>
> > Dann mache den Grenzübergang [mm]x\to 3^-[/mm]
> >
> > Anschließend betrachte den rechtsseitigen Limes, also
> > [mm]\lim\limits_{x\to 3^+}{\frac{f(x)-f(3)}{x-3}[/mm] und schaue, ob
> > er existiert und gleich dem linksseitigen Limes ist, dann
> > hättest du gewonnen
> >
> > >
> > > ...und dann verlassen mich die "guten Mathe-Geister"!!
>
> Tut mir leid, dass ich so viel nachfrage, aber ich bin
> wirklich verwirrt, jetzt so, irgendwie..!?!
Naja, eine Funktion ist ja diffbar in einem Punkt [mm] x_0, [/mm] wenn sowohl linsseitiger als auch rechtsseitiger Limes [mm] $\lim\limits_{x\to x_0^{\pm}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ [/mm] existieren und wenn beide gleich sind
>
> Aber vielen lieben Dank, schachuzipus, für Deine "erste
> Hilfe" !!! ;)
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > Internetseiten gestellt.
> >
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:06 Sa 18.10.2008 | | Autor: | AbiGoere |
Hallo die Dritte!
Und wieder mal ein dickes Danke für die präzise Antwort!
Ich werd mich gleich morgen an die Aufgabe begeben und versuchen sie komplett zu lösen; diesmal was geordneter!
Und mit den tollen Tipps muss das doch klappen!!
Ich wünsche erstmal eine gute Nacht!
*Lg*
AbiGoere
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 So 19.10.2008 | | Autor: | AbiGoere |
| Aufgabe | Gegebene Funktionen:
[mm]f(x)=x^2-2x[/mm] für [mm]x=<3[/mm]
[mm]f(x)=\bruch{x^3}{6}-\bruch{x}{2}[/mm] für [mm]x\ge3[/mm]
Differenzierbar an der Stelle [mm]x_0=3[/mm]? |
Mein Lösungsversuch:
Ich setzte [mm]x_0=3[/mm] in die 2. Definition [mm]f(x)=\bruch{x^3}{6}-\bruch{x}{2}[/mm] ein, da diese für [mm]x\ge3[/mm] ist.
[mm]f(x)=\bruch{x^3}{6}-\bruch{x}{2}[/mm]
[mm]f(3)=\bruch{3^3}{6}-\bruch{3}{2}[/mm]
[mm]f(3)=\bruch{27}{6}-\bruch{3}{2}[/mm]
[mm]f(3)=\bruch{27}{6}-\bruch{9}{6}[/mm]
[mm]f(3)=\bruch{18}{6}[/mm]
[mm]f(3)=3[/mm]
Dann vesuche ich den linksseitigen Limes mit der 1. Definition [mm]f(x)=x^2-2x[/mm] zu errechnen, indem ich für [mm]x_0=3[/mm] einsetze:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\x_0}=\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] $
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\-3-}=\bruch{x^2-2x-(3^2-2\cdot{}3)}{x-3} [/mm] $
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\-3-}=\bruch{x^2-2x-3}{x-3} [/mm] $
und weil ich hier nicht weiterkomme, versuche ich die Nullstellen des Zählers $ [mm] x^2-2x-3 [/mm] $ zu bestimmen (mit der PQ-Formel):
[mm]0=-\bruch{P}{2}\pm\wurzel{\left( \bruch{P}{2} \right)^2 -Q}[/mm]
[mm]0=-\bruch{2}{2}\pm\wurzel{\left( \bruch{2}{2} \right)^2 -(-3)}[/mm]
[mm]0=1\pm\wurzel{1+3}[/mm]
[mm]0=1\pm\wurzel{4}[/mm]
[mm]0=1\pm2[/mm]
[mm]x_1=3[/mm]
[mm]x_2=-1[/mm]
Jetzt hab ich 2 Nullstellen und weiß nicht, wie ich die nun weiter benutze. ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Kann mir vielleicht nochmal jemand helfen?
Ich danke schonmal im voraus!
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Hallo nochmal,
> Gegebene Funktionen:
>
> [mm]f(x)=x^2-2x[/mm] für [mm]x=<3[/mm]
> [mm]f(x)=\bruch{x^3}{6}-\bruch{x}{2}[/mm] für [mm]x\ge3[/mm]
> Differenzierbar an der Stelle [mm]x_0=3[/mm]?
> Mein Lösungsversuch:
>
> Ich setzte [mm]x_0=3[/mm] in die 2. Definition
> [mm]f(x)=\bruch{x^3}{6}-\bruch{x}{2}[/mm] ein, da diese für [mm]x\ge3[/mm]
> ist.
>
> [mm]f(x)=\bruch{x^3}{6}-\bruch{x}{2}[/mm]
> [mm]f(3)=\bruch{3^3}{6}-\bruch{3}{2}[/mm]
> [mm]f(3)=\bruch{27}{6}-\bruch{3}{2}[/mm]
> [mm]f(3)=\bruch{27}{6}-\bruch{9}{6}[/mm]
> [mm]f(3)=\bruch{18}{6}[/mm]
> [mm]f(3)=3[/mm]
>
> Dann vesuche ich den linksseitigen Limes mit der 1.
> Definition [mm]f(x)=x^2-2x[/mm] zu errechnen, indem ich für [mm]x_0=3[/mm]
> einsetze:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\x_0}=\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\-3-}=\bruch{x^2-2x-(3^2-2\cdot{}3)}{x-3}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wieder derselbe Fehler wie oben, der erste Summand stimmt [mm] $f(x)=x^2-2x$, [/mm] aber der zweite ist doch [mm] $f(x_0)$, [/mm] also $f(3)$ und für [mm] $x_0=3$ [/mm] musst du die richtige Definition für $f$ hernehmen, du hast es doch oben ausgerechnet, setze einfach das feste [mm] f(x_0)=f(3)=3$ [/mm] ein. Das ist ein feststehender Wert, der ist in beiden Differenzenquotienten derselbe und berechnet sich auch gleich, denn - wie gesagt - greift an der Stelle [mm] $x_0=3$ [/mm] nur die zweite Definition!
> [mm]\limes_{x\rightarrow\-3-}=\bruch{x^2-2x-3}{x-3}[/mm]
>
> und weil ich hier nicht weiterkomme, versuche ich die
> Nullstellen des Zählers [mm]x^2-2x-3[/mm] zu bestimmen (mit der
> PQ-Formel):
ok, kannst du machen
>
> [mm]0=-\bruch{P}{2}\pm\wurzel{\left( \bruch{P}{2} \right)^2 -Q}[/mm]
>
> [mm]0=-\bruch{2}{2}\pm\wurzel{\left( \bruch{2}{2} \right)^2 -3}[/mm]
*hüstel*, es ist [mm] $\red{Q=-3}$, [/mm] also unter der Wurzel $... [mm] -\red{(-3)}=+3$ [/mm] !!
Außerdem ist [mm] $\blue{P=-2}$, [/mm] also [mm] $-\left(\frac{P}{2}\right)=-\blue{\left(\frac{-2}{2}\right)=-(-1)=+1}$
[/mm]
Ich vermute aber, dass du nur das Minuszeichen im Zähler vergessen hast, denn weiter unten hast du richtigerweise +1 dastehen
Damit sollte es besser klappen ...
>
> [mm]0=1\pm\wurzel{1-3}[/mm]
> [mm]0=1\pm\wurzel{-2}[/mm]
>
> nun hab ich aber in der Wurzel eine negative Zahl; somit
> ist diese Gleichung nicht zu lösen, oder?!
Ja, die Gleichung wäre so in der Tat nicht reell lösbar, aber du hattest zwei VZF
>
> Ich versteh's immer noch nicht, obwohl die
> Erklärungen bisher so gut waren !!!
>
> Kann mir vielleicht nochmal jemand helfen, wie ich hier
> weiter vorgehen kann?!
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 So 19.10.2008 | | Autor: | AbiGoere |
> Hallo schachuzipus,
ich versuch es nochmal!!!
>
> > Gegebene Funktionen:
> >
> > [mm]f(x)=x^2-2x[/mm] für [mm]x=<3[/mm]
> > [mm]f(x)=\bruch{x^3}{6}-\bruch{x}{2}[/mm] für [mm]x\ge3[/mm]
> > Differenzierbar an der Stelle [mm]x_0=3[/mm]?
> > Mein Lösungsversuch:
> >
> > Ich setzte [mm]x_0=3[/mm] in die 2. Definition
> > [mm]f(x)=\bruch{x^3}{6}-\bruch{x}{2}[/mm] ein, da diese für [mm]x\ge3[/mm]
> > ist.
> >
> > [mm]f(x)=\bruch{x^3}{6}-\bruch{x}{2}[/mm]
> > [mm]f(3)=\bruch{3^3}{6}-\bruch{3}{2}[/mm]
> > [mm]f(3)=\bruch{27}{6}-\bruch{3}{2}[/mm]
> > [mm]f(3)=\bruch{27}{6}-\bruch{9}{6}[/mm]
> > [mm]f(3)=\bruch{18}{6}[/mm]
> > [mm]f(3)=3[/mm]
> >
> > Dann vesuche ich den linksseitigen Limes mit der 1.
> > Definition [mm]f(x)=x^2-2x[/mm] zu errechnen, indem ich für [mm]x_0=3[/mm]
> > einsetze:
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\x_0}=\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm]
[mm]\limes_{x\rightarrow\-3-}=\bruch{x^2-2x-3}{x-3}[/mm]
> > und weil ich hier nicht weiterkomme, versuche ich die
> > Nullstellen des Zählers [mm]x^2-2x-3[/mm] zu bestimmen (mit der
> > PQ-Formel):
>
> ok, kannst du machen
>
> >
> > [mm]0=-\bruch{P}{2}\pm\wurzel{\left( \bruch{P}{2} \right)^2 -Q}[/mm]
>
> >
> > [mm]0=-\bruch{2}{2}\pm\wurzel{\left( \bruch{2}{2} \right)^2 -3}[/mm]
Klar, doofer Fehler... hatte ihn editiert, als Du die Antwort geschrieben hast!!! *doofbin*
Muss also lauten:
$ [mm] 0=-\bruch{2}{2}\pm\wurzel{\left( \bruch{2}{2} \right)^2 -(-3)} [/mm] $
$ [mm] 0=1\pm\wurzel{1+3} [/mm] $
$ [mm] 0=1\pm\wurzel{4} [/mm] $
$ [mm] 0=1\pm2 [/mm] $
$ [mm] x_1=3 [/mm] $
$ x_=-1 $
So, nun hab ich ja die zwei Nullstellen, aber was mach ich weiter damit?!
ich steh so dermaßen auf dem Schlauch, dass es echt peinlich wird...
Vielen Dank für Deine Geduld, schachuzipus !!!
*Lg*
AbiGoere
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 So 19.10.2008 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
in den zweiten Teil der Funktionsdefinition kannst du x = 3 einsetzen, beim ersten Teil musst du einen Grenzwert berechen [mm] \limes_{x\rightarrow\ 3} (x^2-2x) [/mm] wobei x < 3 sein soll. In beiden Fällen sollte das Gleiche rauskommen, also ist die Funktion stetig.
Jetzt kannst du die Funktion ableiten, und zwar beide Teile getrennt, dann hast du für [mm] x\not=3 [/mm] die Ableitung. Von dieser Ableitung kannst du wieder den Grenzwert für x [mm] \to [/mm] 3 erechnen, falls x < 3 ist, mussst du den ersten Teil und für x > 3 den zweiten Teil betrachten.
Dein Ansatz passt ebenfalls, du musst nur noch dividieren:
[mm] \frac{x^2-2x-3}{x-3} [/mm] = [mm] \frac{(x-3)(x+1)}{x-3}=x+1
[/mm]
Wenn du jetzt für x den Wert 3 einsetzt, hast du den linksseitigen Grenzwert der Ableitung. Den rechtsseitigen kannst du ähnlich berechnen.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 So 19.10.2008 | | Autor: | AbiGoere |
Hallo zahllos und Danke für die Antwort!
Also habe ich doch mit der 1. Definition den linksseitigen Limes so berechnet:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\x_0}=\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] $
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\-3-}=\bruch{x^2-2x-3}{x-3} [/mm] $ = [mm]\frac{x^2-2x-3}{x-3}[/mm] = [mm]\frac{(x-3)(x+1)}{x-3}=x+1[/mm] = [mm]3+1[/mm] = 4
Und nun muss ich den rechtseitigen Limes mit der 2. Definition berechnen, also auch so?:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\x_0}=\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] $ =
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\+3+}=\bruch{\bruch{x^3}{6}-\bruch{x}{2}-3}{x-3} [/mm] $
und wenn die beiden Übereinstimmen sind diese Funktionen an der Stelle $ [mm] x_0 [/mm] = 3 $ definierbar?!
Und wenn definierbar dann ja auch stetig, nicht wahr?!
Aber was mache ich mit dem Bruch in der Limes-Rechnung?! Kann ich durch X teilen?!
Tut mir leid, dass ich die ganzen Fragen stelle, aber ich war im Unterricht nicht da und möchte das auch verstehen!!!
*Lg*
AbiGöre
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Hallo AG,
> Hallo zahllos und Danke für die Antwort!
>
> Also habe ich doch mit der 1. Definition den linksseitigen
> Limes so berechnet:
>
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\x_0}=\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow\-3-}=\bruch{x^2-2x-3}{x-3}[/mm] =
> [mm]\frac{x^2-2x-3}{x-3}[/mm] = [mm]\frac{(x-3)(x+1)}{x-3}=x+1[/mm] = [mm]3+1[/mm] =
> 4
Ja, sehr gut!
>
> Und nun muss ich den rechtseitigen Limes mit der 2.
> Definition berechnen, also auch so?:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\x_0}=\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\+3+}=\bruch{\bruch{x^3}{6}-\bruch{x}{2}-3}{x-3}[/mm]
>
> und wenn die beiden Übereinstimmen sind diese Funktionen an
> der Stelle [mm]x_0 = 3[/mm] definierbar?! ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
differenzierbar
> Und wenn definierbar differenzierbar dann ja auch stetig, nicht wahr?!
>
> Aber was mache ich mit dem Bruch in der Limes-Rechnung?!
> Kann ich durch X teilen?!
Oh, bitte nicht, Brüche addiert man, indem man gleichnamig macht, oder?
Also bringe alles im Zähler auf "sechstel" ...
>
> Tut mir leid, dass ich die ganzen Fragen stelle, aber ich
> war im Unterricht nicht da und möchte das auch
> verstehen!!!
Das ist sehr löblich, außerdem kannst du soviele Fragen stellen, wie du möchtest, dazu ist das Forum ja da. Man sieht ja auch deutlich, dass du gut mitmachst
>
> *Lg*
> AbiGöre
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:38 So 19.10.2008 | | Autor: | AbiGoere |
Hallo schachuzipus,
ich versuch es dann mal mit den Brüchen:
[mm]\limes_{x\rightarrow\x_0}=\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow\+3+}=\bruch{\bruch{x^3}{6}-\bruch{x}{2}-3}{x-3}[/mm]
[mm]\limes_{x\rightarrow\+3+}=\bruch{\bruch{x^3}{6}-\bruch{3x}{6}-\bruch{18}{6}}{x-3}[/mm]
> Oh, bitte nicht, Brüche addiert man, indem man gleichnamig
> macht, oder?
>
> Also bringe alles im Zähler auf "sechstel" ...
> Das ist sehr löblich, außerdem kannst du soviele Fragen
> stellen, wie du möchtest, dazu ist das Forum ja da. Man
> sieht ja auch deutlich, dass du gut mitmachst
Gut mitmachen?! Naja, aber verstehen tu ich es trotzdem nicht richtig..
Jetzt weiß ich auch nichts mehr mit den Brüchen anzufangen!
Termumformung geht nicht, wegen $ [mm] x^3 [/mm] $ oder
*Lg*
AbiGöre
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Hallo nochmal,
sorry, habe deine Frage falsch gelesen bzw. überflogen, daher meine falsche Antwort, ich editier's eben:
Also du hast es richtig!
[mm] $\frac{\frac{x^3}{6}-\frac{3x}{6}-\frac{18}{6}}{x-3}=\frac{x^3-3x-18}{6\cdot{}(x-3)}$
[/mm]
Nun wie vorher, NST(en) des Zählers suchen (mit Blick auf die Aufgabe, schaue, ob x=3 eine ist, dann kannst du per Polynomdivision [mm] $(x^3-3x-18):(x-3)$ [/mm] das so faktorisieren, dass du das x-3 mit dem des Nenners kürzen kannst).
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:29 Mo 20.10.2008 | | Autor: | AbiGoere |
> Hallo nochmal,
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> sorry, habe deine Frage falsch gelesen bzw. überflogen,
> daher meine falsche Antwort, ich editier's eben:
>
> Also du hast es richtig!
>
> [mm]\frac{\frac{x^3}{6}-\frac{3x}{6}-\frac{18}{6}}{x-3}=\frac{x^3-3x-18}{6\cdot{}(x-3)}[/mm]
>
> Nun wie vorher, NST(en) des Zählers suchen (mit Blick auf
> die Aufgabe, schaue, ob x=3 eine ist, dann kannst du per
> Polynomdivision [mm](x^3-3x-18):(x-3)[/mm] das so faktorisieren,
> dass du das x-3 mit dem des Nenners kürzen kannst).
>
> LG
>
> schachuzipus
OK, also rechne ich:
$ [mm] x^3-3x-18:x-3 [/mm] = [mm] x^2-6 [/mm] $
Ich weiß nicht, wie ich am besten den Rechenweg aufschreiben soll, aber das Ergebnis kann ja nicht stimmen, weil $ [mm] (x-3)*(x^2-6) [/mm] = [mm] x^3-3x^2-6x+18 [/mm] $ ergibt.
Ohweia... ich weiß gar nichts! *heul*
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:52 Mo 20.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Hast recht, stimmt nicht ganz. Wo der Fehler genau liegt, kann ich dir aber leider auch nicht sagen, du könntest es höchstens nochmal durchrechnen.
Rauskommen sollte x²+3x+6, damit du einen Vergleichswert hast, wenn du das jetzt unbedingt noch rechnen willst :) In der Aufgabe sind viele Minus bei, vielleicht hast du irgendwo einen Vorzeichenfehler drinnen?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:18 Mo 20.10.2008 | | Autor: | AbiGoere |
Danke @ Teufel
ich hab jetzt auch $ x²+3x+6 $ raus, aber nun kann ich doch den Nenner auch nicht mit $ x-3 $ kürzen, wie von schachuzipus vorgeschlagen...
Jetzt habe ich doch:
[mm] \bruch{x^2+3x+6}{6*(x-3)}
[/mm]
Hilft es wenn ich den nenner ausrechne?!
[mm] \bruch{x^2+3x+6}{6x-18}
[/mm]
Ich glaub nicht, oder?!
Hilfe ich brech zusammen!!!
*Lg*
AbiGöre
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:46 Mo 20.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Du hattest doch eben noch [mm] \frac{x^3-3x-18}{6\cdot{}(x-3)}!
[/mm]
Und x³-3x-18 hast du erstmal umgeschrieben zu [mm] (x-3)(x^2+3x+6).
[/mm]
Wenn man das einsetzt, erhälst du ja: [mm] \frac{(x-3)(x^2+3x+6)}{6\cdot{}(x-3)}. [/mm] Dann sollte das schon einfacher sein. ;)
Ich schieb das mal auf die späte Uhrzeit! Nur ein Schusselfehler.
Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 Fr 24.10.2008 | | Autor: | AbiGoere |
Hallo zusammen!
Frisch aus dem Krankenhaus begebe ich mich nun an den nächsten Lösungsversuch dieser furchtbaren Aufgabe:
Danke @ Teufel für ALLES!!!!
So, wenn ich nun die Lösung habe:
$ [mm] \frac{(x-3)(x^2+3x+6)}{6\cdot{}(x-3)}. [/mm] $
dann kürze ich (x-3) und habe noch:
$ [mm] \bruch{x^2+3x+6}{6} [/mm] $
setze für $ x=3 $ ein und bekomme
$ [mm] \bruch{3^2+3*3+6}{6} [/mm] $ ...also... $ [mm] \bruch{9+9+6}{6} [/mm] $
und somit erhalte ich dann
$ [mm] \bruch{24}{6} [/mm] $ = 4
Also hab ich:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\-3-}= [/mm] 4 $ und
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\+3+}= [/mm] 4 $
Damit ist doch die Differenzierbarkeit und somit auch die Stetigkeit bewiesen, oder?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Was hast du denn wieder angestellt? Aber schön, wenn du schon wieder Mathe machen kannst. :P
Aber zur Aufgabe:
Ist richtig! Wenn eine Funktion an einer Stelle differenzierbar ist, ist sie dort auch stetig.
Teufel
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![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]"){kind=small}
Das war also die komplette Aufgabe?! ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]"){kind=small}
schachuzipus, zahllos & Teufel.. ![[prost]](/images/smileys/prost.gif "[prost]"){kind=small}
auf Euch !!!
