Steigung der Kurve < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] f(x)=x^2 [/mm] * ln(x)
Mit welcher Steigung läuft die Kurve in den Nullpunkt? |
Hallo, hoffentlich könnt ihr mir helfen.
ich komme nicht weiter. Für die Steigung der Kurve brauche ich doch die erste ableitung, oder??
und in diese muss ich dann den x-Wert des Nullpunktes einsetzen. Damit finde ich die Steigung in dem Kurvenpunkt. Stimmt das?? und ist diese Steigung in der Aufgabe gemeint?? Oder doch was anderes??
Lg
Dorothea
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 Fr 03.02.2006 | | Autor: | kokiweb |
Hallo Dorothea,
> [mm] $f(x)=x^2[/mm] [/mm] * ln(x)$
Kannst Du das denn ableiten? Vielleicht weißt Du es auch, aber ich sage es mal trotzdem:
$[g(x)*h(x)]'=g(x)'*h(x)+g(x)*h(x)'$ (wobei ich jetzt [mm] $g(x)=x^2$ [/mm] und $h(x)=ln(x)$ definiert habe)
> Mit welcher Steigung läuft die Kurve in den Nullpunkt?
Mit Nullpunkt ist ja der Punkt (0,f(0)) gemeint (wobei ja [mm] f(x)=x^2*ln(x) [/mm] in der Aufgabe definiert wurde)
> ich komme nicht weiter. Für die Steigung der Kurve brauche
> ich doch die erste ableitung, oder??
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und in diese muss ich dann den x-Wert des Nullpunktes
> einsetzen. Damit finde ich die Steigung in dem Kurvenpunkt.
Du musst f(0)' ausrechen (d.h. in die erste Ableitung für x die Null einsetzen)
> Stimmt das?? und ist diese Steigung in der Aufgabe
> gemeint?? Oder doch was anderes??
Diese Steigung ist gemeint und das hört sich alles sehr einfach an, ABER wenn wir mal mit Deiner Aufgabe anfangen, werden wir auf Schwierigkeiten stoßen, da ln(x) für x=0 nicht definiert ist (bzw. [mm] -\infty [/mm] als Ergebnis liefert)....
Wir arbeiten jetzt mit der sog. Produktregel des Ableitens (man braucht sie, wenn man zwei durch ein MAL verkettete Funktionen, wie in Deiner Aufgabe, hat). Die Regel lautet:
$[g(x)*h(x)]'=g(x)'*h(x)+g(x)*h(x)'$ (wobei ich jetzt [mm] g(x)=x^2 [/mm] und h(x)=ln(x) definiert habe)
Da wir zur Berechnung des Ergebnisses die 1. Ableitung beider Funktionen g(x) und h(x) benötigen, rechnen wir diese vorweg erstmal aus:
$g(x)'=2x$
$h(x)'=1/x$
Nun setzten wir g, g', h, h' in die Formel ein (g und h kannten wir ja bereits - siehe oben):
[mm] $[x^2*ln(x)]'=2x*ln(x)+x^2*1/x$
[/mm]
durch Zusammenfassen folgt dann:
[mm] $[x^2*ln(x)]'=2x*ln(x)+x=x*(2*ln(x)+1)$
[/mm]
Nun setze ich x=0:
[mm] $[0^2*ln(0)]'=0*(2*ln(0)+1)=0*(2*(-\infty)+1)$
[/mm]
hmmm, wir haben jetzt soetwas wie [mm] $0*(-\infty)$... [/mm] Dieser Ausdruck hat kein eindeutiges Ergebnis. Jede Zahl könnte da raus kommen.
Jetzt erstmal bis hier her und nicht weiter... Ich nehme an, Du bist Schülerin (keine Studentin). Daher meine Fragen:
1) Weißt Du, was [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] bedeutet?
2) Habt Ihr einen sog. "Differentialquotienten" im Unterricht eingeführt?
Wichtig ist nun zu betrachten, wie die $0$ und das [mm] $(-\infty)$ [/mm] entstehen. Wer von beiden dominiert? Wo wird der Kompromiss in dieser Auseinandersetzung dieser Ausdrücke liegen?
Sascha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:16 Fr 03.02.2006 | | Autor: | Dorothea80 |
Hi, Sascha
vielen Dank, für deine Hilfe!!
also: ja ich weiß was limes und differenzialquotienten sind.
nur weiß ich leider immer noch nicht wie ich diese Steigung berechne. was mache ich jetzt mit dem - [mm] \infty [/mm] ??
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:32 Sa 04.02.2006 | | Autor: | Dorothea80 |
Hallo,
kann mir jemand bei dieser Aufgabe weite helfen??
wie löse ich nun das Problem mit dem limes?? und wiegeht es dann weiter??
Danke
Lg Dorothea
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Sa 04.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dorothea!
Sagt Dir der  Grenzwertsatz des de l'Hospital etwas?
Denn der gesuchte Grenzwert [mm] $m_0 [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0+}f'(x)$ [/mm] lässt sich folgendermaßen umschreiben:
[mm] $m_0 [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0+}f'(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0+}\left[2x*\ln(x)+x\right] [/mm] \ = \ [mm] 2*\limes_{x\rightarrow 0+}[x*\ln(x)] [/mm] + [mm] \limes_{x\rightarrow 0+}x [/mm] \ = \ [mm] 2*\limes_{x\rightarrow 0+}\bruch{\ln(x)}{\bruch{1}{x}} [/mm] + [mm] \limes_{x\rightarrow 0+}x$
[/mm]
Dabei entsteht bei dem ersten Term der unbestimmt Ausdruck [mm] $-\bruch{\infty}{\infty}$ [/mm] . Daher darf dann mit de l'Hospital gearbeitet bzw. angewendet werden.
Gruß
Loddar
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