Steckbriefaufgaben < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 Mo 22.10.2007 | | Autor: | peeeter |
| Aufgabe | | Für den Bau eines norddeutschen Radrundwanderwegs muss ein Kanal untertunnelt werden. Aufgrund des ebenen Geländes kann der Tunnel symmetrisch angelegt werden, d.h., die Tunneleinfahrten sind jeweils 15m höher als die tiefste Stelle und 250m weit entfernt von der tiefsten Stelle unter dem Kanal. Diese liegt 10m unter der Wasseroberfläche. Ein günstiger Verlauf des Tunnels wird erreicht, wenn man drei Prabeln mit gleichem Öffnungsgrad aneinander fügt. Für eine angenehme und zügige Fahrt durch den Tunnel muss die Strecke zudem knickfrei sein und die Einfahrten an den höchsten Punkten (Scheitelpunkte der Parabeln) der Strecke liegen. |
Meine Lehrerin hat uns die Scheitelpunkte gesagt [mm] S_{1} [/mm] (0 \ -10) und [mm] S_{2} [/mm] (250 / 5) und dass wir was mit der Scheitelpunktsform machen müssen.
Ich habe leider absolut gar keine Ahnung, ich hoffe mir kann einer helfen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:01 Mo 22.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Weißt du, wie die Parabeln liegen sollen?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hässlich, ich weiß, aber ich hoffe das Prinzip ist klar.
Und durch die Scheitelpunktform kannst du die Gleichungen der Parabeln ja schon fast bestimmen.
[mm] f(x)=a(x-x_S)²+y_S, [/mm] wobei [mm] x_S [/mm] und [mm] y_S [/mm] die Koordinaten des Scheitelpunkts sind. Fehlen tut dir im Endeffekt also nur der Streckungsfaktor a.
Die linke grüne Parabel hätte demnach erstmal die Gleichung: f(x)=a(x-250)²+5.
Die rote: g(x)=...
Weißt du, wie es weitergehen könnte?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Mo 22.10.2007 | | Autor: | peeeter |
die rote wäre dann g(x)= a(x-0)-10=ax-10
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Mo 22.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Am besten du nimmst für die rote Parabel den Streckungsfaktor b, weil a schon für die grünen Parabeln ist.
Und ich habe das ² vergessen!
f(x)=a(x-250)²+5
g(x)=a(x-0)²-10
So wäre es dann richtig.
Kommst du weiter?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Mo 22.10.2007 | | Autor: | peeeter |
nicht wirklich, weil mir nicht ganz klar ist, was genau jetzt mein ziel ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Mo 22.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Ah ok, also durch den gleichen Öffnungsgrad (laut Aufgabe) kannst du b=a setzen.
f(x)=a(x+250)²+5=a(x²+500x+62500)+5=ax²+500ax+62500a+5
g(x)=a(x-0)²-10=ax²-10
EDIT: Wie ich eben gesehen habe, muss es bei g(x) nicht a, sondern -a heißen, da die Parabel ja umgedreht ist. Vor enem der beiden as musst du also ein - setzen!
Diese Parabeln sschneiden sich ja und sollen bei ihrem Schnittpunkt keinen Knick haben. Dazu muss der Anstieg der Parabeln in ihrem Schnittpunkt gleich sein!
Das heißt für dich, dass du erstmal den Schnittpunkt berechnen musst.
(f(x)=g(x))
Dann musst du dir die Anstiege der grünen und roten Parabel an der Schnittstelle der beiden Parabeln angucken. Dieser soll gleich sein!
[mm] (f'(x_s)=g'(x_s))
[/mm]
Damit kannst dein fehlendes a berechnen.
Anmerkung:
Ich gehe jetzt die ganze Zeit erstmal nur von der linken grünen Parabel und der roten Parabel aus. Die rechte grüne Parabel hat eh fast die selbe Funktionsgleichung wie die linke, nur dass in der Klammer statt +250 -250 steht. Liegt an der Symmetrie.
ALTERNATIVER WEG:
Du berechnest die Schnittpunkte der beiden Parabeln. Dadurch landest du ja bei der p-q-Formel. Und 2 Parabeln haben ja genau einen Schnittpunkt, wenn unter der Wurzel 0 rauskommt.
Dieser Weg wäre besser als der oben beschriebene.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:48 Di 02.06.2009 | | Autor: | LEMAO |
| Aufgabe | In der Antwort steht:
"Diese Parabeln sschneiden sich ja und sollen bei ihrem Schnittpunkt keinen Knick haben. Dazu muss der Anstieg der Parabeln in ihrem Schnittpunkt gleich sein! " |
Wenn die Steigung der beiden Parabeln wie in der Aufgabe beschrieben gleich sein soll, dann existiert doch überhaupt kein Schnittpunkt der beiden oder? Es handelt sich in diesem Fall dann um einen Berührpunkt, denn nur im Berühpunkt ist die Steigung doch gleich, also existiert gar kein Schnittpunkt zwischen f(x) und g(x) oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:52 Di 02.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo LEMAO!
Streng genommen magst Du Recht haben. Aber ich würde hier "Schnittpunkt" mal als etwas übergeordneten Begriff ansehen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:08 Di 02.06.2009 | | Autor: | LEMAO |
| Aufgabe | | "Aber ich würde hier "Schnittpunkt" mal als etwas übergeordneten Begriff ansehen. " |
Hallo,
um nochmal auf den Schnittpunkt und Berührpunkt zurück zu kommen, mir wurde die Aufgabe etwas komplizierter gestellt mit einem unklaren Schaubild.
Man erkennt f(x) und g(x) und 2 Endpunkte also einmal ein Ende das bei 250m die x-Achse überschreitet und einmal ein Ende das bei 250 Metern sich noch unter der x-Achse befindet und demnach erst z.B. nach 300 Metern die x-Achse überschreitet.
Der Aufgabe zufolge ist das Ende das genau bei 250 Metern die x-Achse überschreitet das Ende von g(x) und f(x) wäre somit das andere Ende das erst ca. bei 300 Metern die x-Achse schneidet.
Dies würde aber bedeuten das die beiden sich 100 Prozentig schneiden.
Mein Problem ist nun, dsa es ja eigentlich keinen Schnittpunkt gibt sondern einen Berührpunkt das heißt die Zeichnung wäre falsch und f(x) schneidet die x-Achse noch vor 250 Metern. Ich halte eine Mathe GFS und rätsel nun ob ich der Zeichnung wiedersprechen soll wie es im Endeffekt durch den Berührpunkt ja auch richtig wäre, oder ob es noch einen anderen Weg gibt den ich nicht sehe?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:32 Di 02.06.2009 | | Autor: | schotti |
also ein wenig unklar ist die aufgabe schon formuliert. die tunnelportale sind wohl nicht 250m vom tiefsten punkt entfernt, sondern die horizontaldistanz beträgt 250 m. (wenn wirklich der abstand vom höhergelegenen portal zum tieferliegenden tiefsten punkt gemeint ist, wird die aufgabe dank pythagoras noch etwas komplizierter...)
also:
mittlere parabel: [mm] y=ax^2-10
[/mm]
rechte parabel: [mm] y=-a(x-250)^2+5
[/mm]
die parabeln sollen nun einen einzigen gemeinsamen punkt haben (ob der jetzt schnittpunkt oder berührungspunkt oder wie auch immer heisst...). also soll die gleichung
[mm] ax^2-10=-a(x-250)^2+5 [/mm] bzw.
[mm] (2a)x^2+(-500a)x+(62500a-15)=0
[/mm]
nur eine einzige lösung haben. bei einer quadratischen gleichung erzwingt man das, indem man die diskriminante nullsetzt:
[mm] D=(-500a)^2-4(2a)(62500a-15)=0
[/mm]
nach a auflösen und - voilà - fertig!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:12 Di 02.06.2009 | | Autor: | schotti |
teufel, teufel, wenn du das x in einem funktionsterm durch x-250 ersetzt, dann rutscht die kurve wohin denn nun schon wieder? 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:17 Di 02.06.2009 | | Autor: | LEMAO |
| Aufgabe | | "teufel, teufel, wenn du das x in einem funktionsterm durch x-250 ersetzt, dann rutscht die kurve wohin denn nun schon wieder? " |
um -250 weiter? verzeihung das ist mir jetzt nicht ganz klar! :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:21 Di 02.06.2009 | | Autor: | schotti |
exgüsi, wollte nicht für verwirrung sorgen. teufel hat einfach links und rechts verwechselt. die gleichung [mm] y=-a(x-250)^2+5 [/mm] gilt für die rechte(!) grüne kurve, nicht die linke. aber so wichtig ist das für das konkret vorliegende problem ja nicht...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:29 Di 02.06.2009 | | Autor: | LEMAO |
exgüsi, wollte nicht für verwirrung sorgen. teufel hat einfach links und rechts verwechselt. die gleichung $ [mm] y=-a(x-250)^2+5 [/mm] $ gilt für die rechte(!) grüne kurve, nicht die linke. aber so wichtig ist das für das konkret vorliegende problem ja nicht...
Verzeihung, habe nciht darauf geachtet ich habe die x-Achse sowieso an einer Ebene angesetzt die in meinem Schaubild eingezeichnet der Scheitel der nach unten geöffneten Parabeln liegt bei mir genau bei 250/ 0 bzw. -250/0 auch die Parabeln sind anders benannt aber nicht relevant.
Mein Problem ist jetzt immer noch ob ich mich bei meiner GFS vor die Klasse stellen soll und sagen es existiert durch die gleiche Steigung kein Schnittpunkt sondern ein Berührpunkt somit ist die in der Aufgabe gegebenen Zeichnung falsch oder ob es noch einen 2 Rechenweg gibt der hier im Forum aber noch nciht existiert. Denn im gegebenen Rechenweg von User Teufel existiert ja auch kein Schnittpunkt.
Ich glaube ich gehe jetzt verwirrt und weine ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:41 Di 02.06.2009 | | Autor: | schotti |
die parabeln berühren sich bzw. besitzen einen gemeinsamen punkt. mit diesen beiden redeweisen bist du auf der sicheren seite.
aber die mathematiker nennen einen berührungspunkt manchmal aus lauter bequemlichkeit auch schnittpunkt, weil berühren halt so ein grenzfall von schneiden ist. (ähnlich sprechen sie z.b. beim subtrahieren auch von einer addition, weil man ja einfach die gegenzahl addieren kann.)
ps. was ist denn eine gfs?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:54 Di 02.06.2009 | | Autor: | LEMAO |
Also ist es schon richtig das sich f(x) und g(x) oder was auch immer in dieser Aufgabe nicht schneiden sondern berühren?
GFS bedeutet Gleichwertige Feststellung von Schülerleistungen, das ist ein neues System wenn man in Klasse 12 ist muss man in 3 Fächern eine GFS halten (zählt wie eine Arbeit). Es ist ein Vortrag der aufs mündliche Abitur vorbereiten soll, ich glaube es ist aber nur in Baden Würrtemberg verbreitet
Vielen Dank für ihre Hilfe!
|
|
|
|
