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| Aufgabe | wanted:Eine zum Ursprung punktsymmetrische Funktion 5. Grades bei x=2 einem Tiefpunkt und in (-1/19) einen Hochpunkt
a) Stellen Sie dazu ein Gleichungssystem auf und zeigen Sie; dass dieses äquivalent zu dem in a) gegebenen ist. (welche bedeutungen haben r;s;t?)
b)Weise nach; dass es keine Funktion mit den geforderten Eigenschaft gibt |
HI leute!
[mm] a)ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f
[/mm]
1)-a+b-c+d-e+f=19
2)80a+32b+12c+4d+e
3)5a-4b+3c-2c+e
Die Aufgabe ist doch gar nicht lösbar? da fehllen noch 3 gleichungen, aber die kann man nicht aus der Fragestellung rauslesen?
b) wie macht man das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 Do 20.09.2007 | | Autor: | moody |
Punktsymmetrisch heißt doch das nur ungerade Exponenten vorkommen, also kann da schonmal kein [mm] x^4 [/mm] stehen.
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Hallo,
ich stimme meinem Vorredner vollkommen zu und ergänze zu b): Versuch doch, das (korrekte) Gleichungssystem zu lösen und du wirst schon sehen, ob du die richtigen Parameter findest.
Man könnte auch mit der Punktsymmetrie und der Lage der Hoch-/Tiefpunkte argumentieren, aber vermutlich will dein Lehrer, dass du das komplett durchrechnest, oder?
Gruß
Martin
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versteh nicht? wo steht da [mm] x^{4}? [/mm] die gleichung fängt doch mit [mm] x^{5} [/mm] an?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Do 20.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo defjam!
Du hast doch selber in Deinem ansatz für die allgemeine ganzrationale Funktion 5. Grades geschrieben:
$$f(x) \ = \ [mm] a*x^5+b*\red{x^4}+c*x^3+d*x^2+e*x+f$$
[/mm]
Da wir nun aber eine zum Ursprung punktsymmetrische Funktion haben wollen, entfallen alle Geraden Potenzen, und es verbleibt:
$$f(x) \ = \ [mm] a*x^5+c*x^3+e*x$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:31 Do 20.09.2007 | | Autor: | defjam123 |
hey!
dankeschön! bin grad voll unkonzentriet gewesen!
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müsste das aber dann nicht heißen:
[mm] f(x)=ax^{5}+bx^{3}+cx+d
[/mm]
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Hallo,
nein denn der konstante Wert [mm]d[/mm] ist nichts anderes als [mm]d*x^0[/mm], also tritt [mm]x[/mm] hier in einer geraden Potenz auf, was wir ja nicht wollten.
Man kann sich auch überlegen, dass [mm]d[/mm] die gesamte Kurve in y-Richtung verschiebt. Da wir aber Punktsymmetrie zum Ursprung verlangen, insbesondere also [mm]f(0)=0[/mm], muss [mm]d=0[/mm] gelten.
Gruß
Martin
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:23 Do 20.09.2007 | | Autor: | defjam123 |
mein ergebnis:
[mm] -2,24x^{5}+13,97x^{3}-30,73
[/mm]
wie könnt ich denn jetzt beweisen, dass es die Funktion mit dieses eigenschaften gar nicht existiert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 Do 20.09.2007 | | Autor: | Disap |
> mein ergebnis:
>
> [mm]-2,24x^{5}+13,97x^{3}-30,73[/mm]
Also so wie es da steht, ist es mit Sicherheit falsch
> wie könnt ich denn jetzt beweisen, dass es die Funktion mit
> dieses eigenschaften gar nicht existiert?
Wie kommst du denn darauf?
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also:
[mm] f(x)=ax^{5}+bx^{3}+cx
[/mm]
[mm] f''(x)=a*5ax^{4}+3*bx^{2}+c
[/mm]
ist es denn so abgeleitet richtig?
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> also:
> [mm]f(x)=ax^{5}+bx^{3}+cx[/mm]
> [mm]f''(x)=a*5ax^{4}+3*bx^{2}+c[/mm]
>
> ist es denn so abgeleitet richtig?
Hallo,
die zweite Ableitung ist das ganz bestimmt nicht...
Wenn's aber die erste Ableitung sein soll, frage ich mich, was Du beim ersten Term getan hast. Nur verschrieben?
Das a mußt Du ja wie eine Konstante behandeln, was Dir bei b und c klarzusein scheint.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:22 Do 20.09.2007 | | Autor: | defjam123 |
jep das wäre dann:
[mm] f''(x)=5*ax^{4}+3*ax^{2}+1
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 Do 20.09.2007 | | Autor: | Martin243 |
Hallo,
nur noch 3 Fehler:
1. Die 1. Ableitung wird nur durch 1 Hochkomma symbolisiert!
2. Die Ableitung von [mm]bx^3[/mm] kann kein [mm]a[/mm] enthalten.
3. Was ist die Ableitung einer linearen Funktion (hier [mm]cx[/mm])? Was bedeutet eine Ableitung überhaupt?
Gruß
Martin
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Hey danke!
[mm] f'(x)=5*a*x^{4}+3*b*x^{2}?
[/mm]
wäre das dann richtig? wie würde es denn richtig abgeleitet aussehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Do 20.09.2007 | | Autor: | Blech |
> Hey danke!
>
> [mm]f'(x)=5*a*x^{4}+3*b*x^{2}?[/mm]
>
> wäre das dann richtig? wie würde es denn richtig abgeleitet
> aussehen?
Also Du willst das hier ableiten. Das ist ein einfaches Polynom, also atme einmal tief durch und leite dann Summand für Summand ab und schreib uns dann die Lösung möglichst ohne Tippfehler. =)
[mm]f(x)=ax^{5}+bx^{3}+cx[/mm]
[mm]f'(x)=\dots[/mm]
Jetzt weißt Du zwei Extremwerte der Funktion, also erhältst Du zwei weitere Gleichungen über f'(x). (bzw. einen ganzen Schwung mehr, die Funktion soll ja punktsymmetrisch zum Ursprung sein)
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ok,
also
abgeleitet: [mm] f'(x)=a*5*x^{4}+b*3*x^{2}
[/mm]
mein ergebnis dann f(x)=-19c
wie kann ich beweisen das es so eine funktion in wirklichkeit gar nicht gibt?
schreib morgen ne klausur!
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Hallo,
es wird nicht richtiger, wenn du es zweimal hinschreibst.
Du hast doch die anderen Teile richtig abgeleitet, aber was ergibt [mm]cx[/mm] abgeleitet? Schauen wir uns mal den Exponenten an. Der wird bei der Ableitung ja bekanntlich um 1 kleiner und als Faktor vorangestellt:
[mm](cx)' = (c*x^{1})' = 1*c*x^{0} = 1*c*1 = c[/mm]
> wie kann ich beweisen das es so eine funktion in wirklichkeit gar nicht gibt?
Du solltest ja auch darauf kommen, dass das Gleichungssystem nicht lösbar ist. Dann ist der Schluss einfach. Solange du aber eine Lösung herausbekommst, ist das doch gerade das Gegenbeispiel. Dann kannst du nix beweisen...
> schreib morgen ne klausur!
Hmmm, etwas kurzfristig das Ganze, wie?
Gruß
Martin
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tut mir leid, ich versteh grad gar nix
das würde doch dann heißen:
[mm] f'(x)=a*5*x^{4}+b*3*x^{2}+c?
[/mm]
das hat ich doch vorhin geschrieben, dann meinte einer das ist ganz bestimmt falsch?
danke
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Hallo,
geht es denn jetzt wirklich darum, Recht zu haben?
Wie auch immer, du hattet geschrieben:
$ [mm] f''(x)=a\cdot{}5ax^{4}+3\cdot{}bx^{2}+c [/mm] $
und nicht (wie du es jetzt richtig hast!):
$ [mm] f'(x)=a\cdot{}5\cdot{}x^{4}+b\cdot{}3\cdot{}x^{2}+c? [/mm] $
Einmal ging es um das doppelte Hochkomma und zum anderen um das zweite [mm]a[/mm].
Auf jeden Fall stimmt deine jetzige Ableitung.![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Martin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 Do 20.09.2007 | | Autor: | Blech |
> ok,
>
> also
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> abgeleitet: [mm]f'(x)=a*5*x^{4}+b*3*x^{2}[/mm]
Da fehlt das c: [mm]f'(x) = 5ax^4+3bx^2 +c[/mm].
>
> mein ergebnis dann f(x)=-19c
>
> wie kann ich beweisen das es so eine funktion in
> wirklichkeit gar nicht gibt?
Die Funktion soll einen Hochpunkt bei -1 haben. Wegen Punktsymmetrie hat sie damit einen Tiefpunkt bei 1. Ebenso muß sie auch einen Hochpunkt bei -2 haben, weil sie einen Tiefpunkt bei 2 hat. Zwischen 2 Hochpunkten (-2, -1) muß ein Tiefpunkt liegen und umgekehrt (1,2). Also müßte die Ableitung (mindestens) 6 Nullstellen haben. Aber ein Polynom 4. Grades kann maximal 4 Nullstellen haben [mm] \Rightarrow [/mm] Geht nicht
> schreib morgen ne klausur!
Viel Glück. =)
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Ich habe die Aufgabe gar nicht weiter gerechnet aber mir fällt folgender Widerspruch auf:
1) zum Ursprung punktsymmetrische Funktion 5. Grades
2) bei x=2 ein Tiefpunkt
3) in (-1/19) ein Hochpunkt
Wie kann so etwas sein ??? =
Wenn x=2 ein Tiefpunkt ist, dann muss x=-2 ein Hochpunkt sein (wegen der Punktsymmetrie zum Ursprung).
Aber in x=-1 soll ebenfalls ein Hochpunkt sein.
So etwas bei einer Funktion 5. Grades nicht möglich.
Weil: Zwischen den Hochpunkten muss ein Tiefpunkt liegen. Und dafür gibt es wieder einen Hochpunkt auf der anderen Seite der Punktspiegelung. Das wären dann schon 3 Hochpunkte. So viele Hochpunkte hat eine Funktion 5. Grades nicht
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 00:53 Fr 21.09.2007 | | Autor: | Martin243 |
Richtig!
Das meinte ich auch in meinem ersten Beitrag. Die Frage ist eben nur, wie es der Lehrer gerne hätte: Mit Köpfchen (wie bei dir und auch schon bei Blech weiter oben) oder durch stures Ausrechnen.
Gruß
Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:12 Fr 21.09.2007 | | Autor: | rabilein1 |
@ Martin243 (aufgrund von Korrekturmitteilung kann ich nicht direkt antworten):
Im Prinzip ist es völlig egal, auf welche Art man eine Aufgabe löst, sofern das Endergebnis richtig ist.
In diesem speziellen Fall wird man durch Köpfchen allerdings schneller und sicherer zur Lösung kommen. Das hat man ja auch gesehen, wie sich defjan123 beim sturen Ausrechnen verheddert hat bzw. nicht weiter kam, OBWOHL in der Aufgabenstellung bereits stand, dass die Aufgabe nicht lösbar ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:45 Fr 21.09.2007 | | Autor: | Martin243 |
Hallo rabilein1,
das mit der "Korrekturmitteilung" sollte eher eine Bestätigung als eine Korrektur sein. Ich wusste nicht, dass das Wort "Korrekturmitteilung" da benutzt wird.
> Im Prinzip ist es völlig egal, auf welche Art man eine Aufgabe löst, sofern das Endergebnis richtig ist.
Natürlich, "im Prinzip" schon, aber zu meiner Zeit zählte auch das, was man gerade im Unterricht durchnahm. Ich kenne den Zusammenhang nicht, ich kenne den Lehrer nicht, also bin ich vorsichtig (argwöhnisch).
> In diesem speziellen Fall wird man durch Köpfchen allerdings schneller und sicherer zur Lösung kommen.
Hmmm, wenn man diese Sicherheit im Umgang mit Aufgabenstellungen dieses Typs hat.
> Das hat man ja auch gesehen, wie sich defjan123 beim sturen Ausrechnen verheddert hat bzw. nicht weiter kam,...
Nun ja, er hat sich da sehr ungeschickt angestellt (kann man dem Klausurstress zuschreiben), also wäre ich mir nicht so sicher, ob ihm der Zusammenhang zwischen dem Polynomgrad und der Anzahl der potenziellen Extremstellen - kombiniert mit der von ihm gar nicht berücksichtigten Symmetrie - so klar war.
Du schreibst ja auch nur:
> So viele Hochpunkte hat eine Funktion 5. Grades nicht
Warum nicht? Das ist doch auch nicht jedem klar, würde ich mal unterstellen...
> ... OBWOHL in der Aufgabenstellung bereits stand, dass die Aufgabe nicht lösbar ist.
Hmmm, die Aufgabe an sich schon, nur das Gleichungssystem sollte es nicht sein. Das wusste defjam123 aber auch nicht zu deuten.
So, das sollte keine Kritik sein, sondern eine Erklärung meiner Beobachtungen und Eindrücke. Ich würde mal sagen, mit über 2000 Beiträgen bist du einfach erfahrener und gelassener im Umgang mit solchen (und anderen) Aufgaben als ein Schüler in den letzten Stunden vor seiner Matheklausur... 
Gruß
Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:05 Fr 21.09.2007 | | Autor: | rabilein1 |
> > Im Prinzip ist es völlig egal, auf welche Art man eine
> Aufgabe löst, sofern das Endergebnis richtig ist.
> Natürlich, "im Prinzip" schon, aber zu meiner Zeit zählte
> auch das, was man gerade im Unterricht durchnahm. Ich kenne
> den Zusammenhang nicht, ich kenne den Lehrer nicht, also
> bin ich vorsichtig (argwöhnisch).
Das stimmt. Manche Lehrer sind da komisch.
Mir ist es egal, wie jemand zum Ziel kommt. Wer von Berlin nach Hamburg über München fährt, kommt auch an. Kein Polizist verwarnt ihn für den unsinnigen Umweg. Nur darf man sich dann nicht über die verlorene Zeit und die hohen Spritkosten beklagen.
Genau so sehe ich das mit dem Lösen von Mathe-Aufgaben. Es darf keinen Punktabzug wegen Umständlichkeit geben, aber wenn deshalb die Zeit nicht reicht, dann geht das zu Lasten des Schülers.
> "So viele Hochpunkte hat eine Funktion 5. Grades nicht"
> Warum nicht? Das ist doch auch nicht jedem klar, würde ich
> mal unterstellen...
Wie der Graph einer Fuktion ersten, zweiten, dritten etc. Grades aussieht, das sollte man schon wissen. Notfalls kann man dann sich die maximale Anzahl an Nullstellen und Hochpunkten mit den Fingern abzählen.
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> Im Prinzip ist es völlig egal, auf welche Art man eine
> Aufgabe löst, sofern das Endergebnis richtig ist.
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> In diesem speziellen Fall wird man durch Köpfchen
> allerdings schneller und sicherer zur Lösung kommen.
Hallo,
völlig unbestritten ist das der Fall!
Vorausgesetzt natürlich, man hat den entsprechenden Überblick...
Trotzdem meine ich, daß man so etwas gerade auch in Fällen, wo die Lösung (daß es nämlich keine gibt) unmittelbar auf der Hand liegt, ruhig mal rechnen sollte. Dann weiß man nämlich, wie Unlösbarkeit rechnerisch aussieht, und erkennt sie (hoffentlich) an dem Tag, an welchem man damit konfrontiert wird - und der Tag wird kommen.
> Das
> hat man ja auch gesehen, wie sich defjan123 beim sturen
> Ausrechnen verheddert hat bzw. nicht weiter kam, OBWOHL in
> der Aufgabenstellung bereits stand, dass die Aufgabe nicht
> lösbar ist.
Sein Gewurschtel hatte aber eigentlich nicht viel mit der Nichtlösbarkeit zu tun, jedenfalls nicht an den Stellen, an welchen ich Einblick genommen habe.
Man hat ja schon oft genug ganz nettes Wirrwarr gesehen bei lösbaren Gleichungen.
Für meinen Teil muß ich leider zugeben: auch selbst nettes Wirrwarr produziert...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:28 Fr 21.09.2007 | | Autor: | rabilein1 |
> Trotzdem meine ich, daß man so etwas gerade auch in Fällen,
> wo die Lösung (daß es nämlich keine gibt) unmittelbar auf
> der Hand liegt, ruhig mal rechnen sollte. Dann weiß man
> nämlich, wie Unlösbarkeit rechnerisch aussieht, ...
Da ist was Wahres dran.
Ich kann mich noch daran erinnern, wie ich einen halben Tag rumgerechnet hatte, um die Gleichung einer Kreis-Tangente an zu ermitteln. Ich kam zu keinem brauchbaren Ergebnis. Ging auch nicht. Denn der Punkt durch den die Tangente gehen sollte, lag innerhalb des Kreises.
Mit Köpfchen statt sturem Rechnen hätte man sofort merken können, dass der Radius größer ist als der Abstand des angeblichen Geraden-Punktes zum Kreis-Mittelpunkt.
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