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Hallo,
Kann mir bitte jemand von ![[]](/images/popup.gif) dieser Internetseite die Aufgabe 3 erklären? Ich weiß absolut nicht wie ich vorgehen soll.
Bis jetzt habe ich nur die 2 Punkte übersetzt:
P(-1/0) ---> f(-1)=0
P(1/0) ---> f(1)=0
Und die Ableitungen:
[mm] f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d
[/mm]
[mm] f`(x)=3ax^{2}+2bx+c
[/mm]
f``(x)=6ax+2b
LG
Sarah
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Hallo Rainer ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") ,
Ich habe bei dieser frühen Uhrzeit fast kaum mit ner Antwort gerechnet, die Frage aber zu meiner persönlichen ruhe dennoch gepostet  Also vielen lieben Dank!
Dennoch ist mir noch was unklar:
> Du hast links die Gerade [mm]f_l(x) = x+1[/mm] und rechts die Gerade
> [mm]f_r(x)=-x+1[/mm]. Bei x=-1 sollen Funktionswert und 1. und 2.
> Ableitung von [mm]f_l(x)[/mm] und [mm]f(x)[/mm] übereinstimmen, ebenso bei
> x=+1 für [mm]f(x)[/mm] und [mm]f_r(x)[/mm].
Resultiert das aus der Geradengleichung f(x)=mx+b?
Und ich muss davon die Ableitungen bilden?
also
f(x)=-x+1
f'(x)=-1
f''(x)=0
f(x)=x+1
f'(x)=1
f''(x)=0
1 und -1 eingesetzt:
f'(1)=-1
f'(1)=1
f'(-1)=-1
f'(-1)=1
FKTwerte sind nicht gleich - was bedeutet das?
f''(1)=0
f''(1)=0
f''(-1)=0
f''(-1)=0
Was sagt mir das jetzt? Muss ich daraus jetzt die Bedingungen aufstellen?
Sarah
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:36 Fr 19.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sarah!
Wie eben schon geschrieben: es handelt sich um eine achsensymmetrische Funktion 4. Grades: $f(x) \ = \ [mm] a*x^4+b*x^2+c$ [/mm] .
Um auch bei den Bedingungen die Symmetrie zu nutzen, brauchst Du lediglich alle Eigenschaften an der Stelle [mm] $x_1 [/mm] \ = \ +1$ verwenden:
Dir fehlt noch die Eigenschaft mit denselben Funktionswerten zur Gerade $g(x) \ = \ -x+1$ (diese Geradengleichungen kannst Du doch auch fast direkt aus der Skizze ablesen. Ansonsten wirklich durch Einsetzen zweier Punkte in die Form $g(x) \ = \ m*x+b$ ermitteln).
$$f(1) \ = \ g(1) \ = \ 0$$
Dazu kommen nun noch die Übereinstimmungen bei den Ableitungen:
$$f'(1) \ = \ g'(1) \ = \ -1$$
$$f''(1) \ = \ g''(1) \ = \ 0$$
Kommst Du damit weiter?
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
Ich hoffe, mein Unverständnis liegt einfach an der Aufregung wegen der Klausur, die in knapp 2 Std beginnen wird, oder ich verstehe wirklich die Aufgabe nicht.
> Wie eben schon geschrieben: es handelt sich um eine
> achsesymmetrische Funktion 4. Grades: [mm]f(x) \ = \ a*x^4+b*x^2+c[/mm]
Ja, aber das war mir nicht klar, als ich die Frage geschrieben habe.
> Dir fehlt noch die Eigenschaft mit denselben
> Funktionswerten zur Gerade [mm]g(x) \ = \ -x+1[/mm] (diese
> Geradengleichungen kannst du doch auch fast direkt aus der
> Skizze ablesen. Ansonsten wirklich durch Einsetzen zweier
> Punkte in die Form [mm]g(x) \ = \ m*x+b[/mm] ermitteln).
Ja, das stimmt, das war mir eben nicht bewusst, dass man auch am Graphen die Infos ablesen kann...
> [mm]f(1) \ = \ g(1) \ = \ 0[/mm]
Hier muss ich einhaken:
> Dazu kommen nun noch die
> Übereinsetimmungen bei den Ableitungen:
> [mm]f'(1) \ = \ g'(1) \ = \ -1[/mm]
> [mm]f''(1) \ = \ g''(1) \ = \ 0[/mm]
Ich frage man ganz kurz, weil mir die zeit weg rennt: wie bist du darauf gekommen?! Ich verstehe nicht,wie du dort vorgegangen bist. Wieso ist f(1)=g(1)=0?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:52 Fr 19.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sarah!
Locker bleiben ... nicht aufregen!
Damit die Autos auf der Straße nicht urplötzlich zur Seite springen müssen, sollte die Verbindungsstraße an den Nahtstellen wie z.B. [mm] $x_1 [/mm] \ = \ +1$ denselben y-Wert haben; es soll in der Straßenführung schließlich keine Lücke entstehen.
Die Infos mit den beiden Ableitungen, dass sowohl die erste also auch die zweite Ableitung an den Nahtstellen übereinstimmen soll, stammt aus der Aufgabenstellung.
Und die entsprechenden Werte habe ich aus den Ableitungen der Geradengleichung:
$$g(x) \ = \ -x+1 \ \ \ \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ \ \ \ g(1) \ = \ -1+1 \ = \ 0$$
$$g'(x) \ = \ -1 \ \ \ \ \ \ \ \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ \ \ \ g'(1) \ = \ -1$$
$$g''(x) \ = \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ \ \ \ g''(1) \ = \ 0$$
Nun klar(er)?
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:09 Fr 19.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sarah!
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, sollte am Ende folgendes herauskommen:
$$f(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{8}*x^4-\bruch{3}{4}*x^2+\bruch{5}{8} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{8}*\left(x^4-6*x^2+5\right)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 09:22 Fr 19.10.2007 | | Autor: | informix |
Hallo Loddar,
> Hallo Sarah!
>
>
> Wenn ich mich nicht verrechnet habe, sollte am Ende
> folgendes herauskommen:
>
> [mm]f(x) \ = \ \bruch{1}{8}*x^4-\bruch{3}{4}*x^2+\bruch{5}{8} \ = \ \bruch{1}{8}*\left(x^4-6*x^2+5\right)[/mm]
>
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") du hast dich leider mit einem Vorzeichen (bei a) vertan!
[mm]f(x) \ = \ \green{-}\bruch{1}{8}*x^4+\bruch{3}{4}*x^2-\bruch{5}{8} \ = \ \green{-} \bruch{1}{8}*\left(x^4-6*x^2+5\right)[/mm]
Gruß informix
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler | | Datum: | 09:36 Fr 19.10.2007 | | Autor: | informix |
Hallo informix,
> Hallo Loddar,
>
> > Hallo Sarah!
> >
> >
> > Wenn ich mich nicht verrechnet habe, sollte am Ende
> > folgendes herauskommen:
> >
> > [mm]f(x) \ = \ \bruch{1}{8}*x^4-\bruch{3}{4}*x^2+\bruch{5}{8} \ = \ \bruch{1}{8}*\left(x^4-6*x^2+5\right)[/mm]
>
> >
> du hast dich leider mit einem Vorzeichen (bei a)
> vertan!
>
> [mm]f(x) \ = \ \green{-}\bruch{1}{8}*x^4+\bruch{3}{4}*x^2-\bruch{5}{8} \ = \ \green{-} \bruch{1}{8}*\left(x^4-6*x^2+5\right)[/mm]\ [mm] \
[/mm]
Ich habe zu schnell gerechnet - Loddar hat recht!
>
> Gruß informix
Gruß informix
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Einen wunderschönen Tag, besonders an Loddar, entschuldigung, wenn mich in diese Aufgabe reinhänge, aber es läßt mich nicht los, ich habe eine Frage an dich, eine schöne und interessante Aufgabe, die ich im matheraum verfolgt habe, ich habe auch mitgerechnet:
[mm] f(x)=ax^{4}+cx^{2}+e
[/mm]
man kann ja an der Stelle x=-1 oder x=1 rechnen, ich habe an -1 gerechnet:
P(-1; 0) ergibt 0=a+c+e
f'(-1)=1 ergibt 1=-4a-2c
f''(-1)=0 ergibt 0=12a+2c
somit komme ich auch auf deine Lösung [mm] \bruch{1}{8}x^{4}-\bruch{3}{4}x^{2}+\bruch{5}{8}
[/mm]
auf meinem Blatt stand aber erst f''(-1)= 1 , weil in der Aufgabe steht, "in der 1. und 2. Ableitung überinstimmen", ich habe auch mit der jetzt bekannten Funktion f'(-1)=1 und f''(-1)=0 berechnet, warum aber nun f'(-1)=1 und f''(-1)=0? Ich komme eifach nicht dahinter (leider).
Zwinkerlippe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:58 Fr 19.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Zwinkerlippe!
Der Wert $f''(-1) \ = \ [mm] \red{0}$ [/mm] ergibt sich - wie oben dargestellt - aus der Geradengleichung. An der Stelle [mm] $x_2 [/mm] \ = \ -1$ lautet diese ja: [mm] $g_2(x) [/mm] \ = \ x+1$ .
Damit erhalten wir folgende Ableitungen:
[mm] $$g_2(x) [/mm] \ = \ x+1 \ \ \ \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ \ \ \ [mm] g_2(-1) [/mm] \ = \ -1+1 \ = \ 0$$
[mm] $$g_2'(x) [/mm] \ = \ 1 \ \ \ \ \ \ \ \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ \ \ \ [mm] g_2'(-1) [/mm] \ = \ 1$$
[mm] $$g_2''(x) [/mm] \ = \ [mm] \red{0} [/mm] \ \ \ \ \ \ \ \ \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ \ \ \ [mm] g_2''(-1) [/mm] \ = \ 0$$
Gruß
Loddar
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Danke Loddar, also bedeutet das g(x)=x+1, g'(x)=1, g''(x)=0, die Ableitung einer Konstanten ist ja Null, also darf ich die Fragestellung nicht so auffassen, das es zahlenmäßig gleich ist sondern ich muß quasi in den Ableitungen weiter machen erst gegebene Funktion, dann 1. Ableitung, dann 2. Ableitung, darauf bezieht sich die Gleichheit?
Zwinkerlippe
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Hallo Loddar, jetzt hat es gschnackelt, oh war die Leitung lang,
1. Ableitung der Geraden gleich 1. Ableitung der Funktion gleich 1
2. Ableitung der Geraden gleich 2. Ableitung der Funktion gleich 0
ich war auf dem (falchen) Weg:
1. Ableitung der Geraden gleich Eins gleich 1. Ableitung der Funktion gleich 2. Ableitung der Funktion, aber eine Funktion kann ja nicht in der 1. und der 2. Ableitung gleich sein, Ausnahme [mm] e^{x},
[/mm]
Zwinkerlippe
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Vielen Dank für deine Geduld mit mir, Zwinkerlippe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:29 Fr 19.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Halo Sarah!
Ergänzend zu Rainer's Antwort möchte ic Dir noch "verrraten", dass es sich bei der gesuchten Funktion um eine Funktion 4. Grades handeln muss, welche achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft.
Warum 4. Grades? Wir benötigen eine Funktion, deren 2. Ableitung noch nicht konstant ist. Zudem düfen wegen der Symmetrie nur gerade Potenzen vorkommen. Damit fällt die quadratsiche funktion schon weg und die nächste Möglichkeit ist halt [mm] $x^4$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar ,
> Warum 4. Grades? Wir benötigen eine Funktion, deren 2.
> Ableitung noch nicht konstant ist. Zudem düfen wegen der
> Symmetrie nur gerade Potenzen vorkommen. Damit fällt die
> quadratsiche funktion schon weg und die nächste Möglichkeit
> ist halt [mm]x^4[/mm] .
Wieso darf die 2. Ableitung noch nicht konstant sein? Erkennt man das irgendwo dran (oder erkennt man das, wenn man logisch nach gedacht hat)?
Wenn eine FKT achsensymmetrisch ist - da fallen doch die ungeraden Exponenten weg, oder?! Haben erst gestern in dere Schule so eine Aufgabe durch gerechnet!
Sarah
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:40 Fr 19.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sarah!
> Wieso darf die 2. Ableitung noch nicht konstant sein?
> Erkennt man das irgendwo dran (oder erkennt man das, wenn
> man logisch nach gedacht hat)?
Etwas überlegen ... wir kennen ja den Wert der 2. Ableitung der Geraden mit $g''(x) \ = \ 0$ .
Wenn nun die 2. Ableitung der gesuchten Funktion auch schon konstant ist (wie z.B. bei einer quadratischen Funktion $f(x) \ = \ [mm] a*x^2+b*x+c$ [/mm] mit $f''(x) \ = \ 2*a$ ), würde daraus folgen, dass gilt: $a \ = \ 0$ . Damit wäre es aber auch keine quadratsiche Funktion mehr.
> Wenn eine FKT achsensymmetrisch ist - da fallen doch die
> ungeraden Exponenten weg, oder?!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig!
Gruß
Loddar
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![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]"){kind=small}
Warum? Das machen wir doch, indem wir setzen $f''(-1) \ = \ [mm] g_2''(-1) [/mm] \ = \ 0$ .
