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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:55 Di 16.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Gesucht ist dei quadratische Funktion g,deren Graph die gleichen Nullstellen wie [mm] f(x)=-x^{2}-4x [/mm] hat und mit der x-Achse eine Fläche einschließt,die haöb so groß ist,wie die vom Graphen von f und der x-Achse eingeschlossene Fläche. |
Hallo^^
Ich hab mal ne Frage zu dieser Aufgabe.Eigentlich ist die Frage ehr allgemeiner,aber sie bezieht sich auch auf diese Aufgabe.
Wenn ich z.B. eine Funktion habe die mit der x-Achse eine Fläche einschließt von x=-2 bis x=6,darf ich dann das Integral [mm] \integral_{-2}^{6}{f(x) dx} [/mm] einfach so berechnenfür die Fläche?
Oder muss ich erst von -2 bis 0 und dann vonn von 0 bis 6 berechnen?
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> Gesucht ist dei quadratische Funktion g,deren Graph die
> gleichen Nullstellen wie [mm]f(x)=-x^{2}-4x[/mm] hat und mit der
> x-Achse eine Fläche einschließt,die haöb so groß ist,wie
> die vom Graphen von f und der x-Achse eingeschlossene
> Fläche.
> Hallo^^
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> Ich hab mal ne Frage zu dieser Aufgabe.Eigentlich ist die
> Frage ehr allgemeiner,aber sie bezieht sich auch auf diese
> Aufgabe.
> Wenn ich z.B. eine Funktion habe die mit der x-Achse eine
> Fläche einschließt von x=-2 bis x=6,darf ich dann das
> Integral [mm]\integral_{-2}^{6}{f(x) dx}[/mm] einfach so
> berechnenfür die Fläche?
> Oder muss ich erst von -2 bis 0 und dann vonn von 0 bis 6
> berechnen?
Hallo!
Wenn nach einer Fläche gesucht wird, die eine Funktion mit der x-Achse einschließt, ist wirklich die "Fläche" gesucht. Du weißt ja, dass das Integral [mm]\integral_{-2}^{6}{f(x) dx}[/mm] jedoch einen so genannten "orientierten Flächeninhalt" liefert, d.h. die Fläche unter der x-Achse wird von der über der x-Achse abgezogen: Solch ein Integral kann also auch negativ werden, wenn "sehr viel Funktion" unter der x-Achse liegt  Das ist also nicht die "wahre Fläche".
Um die zu erhalten, musst du die Flächen unter und über der x-Achse einzeln berechnen und dann alle positiv machen und summieren. Dies gelingt dir, wie du schon richtig begonnen hast, indem du das Integral [mm]\integral_{-2}^{6}{f(x) dx}[/mm] aufteilst in Teilintegrale, welche dann immer nur den orientierten Flächeninhalt von einer Nullstelle bis zur nächsten ausdrücken.
Beispiel also hier:
[mm]f(x) = -x^{2}-4x = -x*(x+4) [/mm]
hat die beiden Nullstellen x = 0 und x = -4.
Wenn wir jetzt
[mm]\integral_{-2}^{6}{f(x) dx}[/mm]
berechnen sollen, müssen wir also aufteilen in:
[mm]\integral_{-2}^{0}{f(x) dx}[/mm]
und
[mm]\integral_{0}^{6}{f(x) dx}[/mm].
Diese müssen beide positiv gemacht werden (wir nehmen den Betrag) und dann summiert:
A = [mm]\left|\integral_{-2}^{0}{f(x) dx}\right| + \left|\integral_{0}^{6}{f(x) dx}\right|[/mm]
Jetzt kommt wirklich die Fläche raus, welche die Funktion f mit der x-Achse einschließt.
Stefan.
PS.: Diese Aufgabe scheint mir aber einfacher lösbar zu sein... Ich würde einfach die Funktion f(x) mal 1/2 rechnen - wie du leicht nachprüfen kannst, entstände genau der halbe Flächeninhalt A!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Di 16.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok, gut,ich meinte aber eigentlich was anderes (hab mich bisschen ungenau ausgedrückt).
Ich meine jetzt wenn eine Funktion nur über der x-Achse liegt und dort im Intervall von [-2;6] eine Fläche einschließt,ob man dann das Integral einfach von -2 bis 6 berechnen darf,um die Fläche herauszubekommen.
Oder bekomm ich da irgendeine Flächendifferenz,wenn ich von einem negativen x-Wert aus die Fläche berechne?
Ich hab die Aufgabe jetzt mal gerechnet und hab für die Funktion [mm] g(x)=\bruch{1}{2}x^{2}+2x,stimmt [/mm] das so?
lg
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> Ok, gut,ich meinte aber eigentlich was anderes (hab mich
> bisschen ungenau ausgedrückt).
> Ich meine jetzt wenn eine Funktion nur über der x-Achse
> liegt und dort im Intervall von [-2;6] eine Fläche
> einschließt,ob man dann das Integral einfach von -2 bis 6
> berechnen darf,um die Fläche herauszubekommen.
> Oder bekomm ich da irgendeine Flächendifferenz,wenn ich
> von einem negativen x-Wert aus die Fläche berechne?
Hallo!
Nein, du darfst einfach das Integral von -2 bis 6 ausrechnen. Da passiert nichts Schlimmes. Denn selbst wenn du es wie du vorgeschlagen hast aufteilen würdest, könntest du es mit Hilfe der Rechenregeln für Integrale wieder zusammenziehen - Das ist dasselbe!
> Ich hab die Aufgabe jetzt mal gerechnet und hab für die
> Funktion [mm]g(x)=\bruch{1}{2}x^{2}+2x,stimmt[/mm] das so?
Ja ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aber auch
[mm]f(x) = -\bruch{1}{2}*x^{2}-2x[/mm]
ist möglich.
Stefan.
> lg
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