Stationäre Stellen bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:23 Sa 08.09.2012 | | Autor: | dudu93 |
Hallo,
ich habe hier zwei folgende partielle Ableitungen vorliegen, aber komme nicht darauf, wie man davon die stationären Stellen kommen soll.
[mm] f_{x1}(x_1,x_2) [/mm] = [mm] \bruch{1-x_1^2+x_2^2}{(1+x_1^2+x_2^2)^2} [/mm]
[mm] f_{x2}(x_1,x_2) [/mm] = [mm] \bruch{-2x_1x_2}{(1+x_1^2+x_2^2)^2} [/mm]
Die stationären Stellen bekommt man ja, wenn man jeweils nach [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] auflöst. In diesem Fall gibt es aber stets zwei Unbekannte. Kann mir jemand helfen?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:51 Sa 08.09.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
> Hallo,
>
> ich habe hier zwei folgende partielle Ableitungen
> vorliegen, aber komme nicht darauf, wie man davon die
> stationären Stellen kommen soll.
>
> [mm]f_{x1}(x_1,x_2)[/mm] = [mm]\bruch{1-x_1^2+x_2^2}{(1+x_1^2+x_2^2)^2}[/mm]
>
> [mm]f_{x2}(x_1,x_2)[/mm] = [mm]\bruch{-2x_1x_2}{(1+x_1^2+x_2^2)^2}[/mm]
[mm] (x_{1},x_{2}) \in \IR^2 [/mm] ist genau dann ein stationärer Punkt, wenn [mm] f_{x1}(x_1,x_2) = f_{x2}(x_1,x_2) = 0[/mm] ist, also genau dann wenn
[mm] 1-x_1^2+x_2^2 = -2x_1x_2 = 0 [/mm]
>
> Die stationären Stellen bekommt man ja, wenn man jeweils
> nach [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] auflöst. In diesem Fall gibt es aber
> stets zwei Unbekannte. Kann mir jemand helfen?
>
> LG
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 Sa 08.09.2012 | | Autor: | dudu93 |
Danke!
Ich habe jetzt erstmal alles auf eine Seite gebracht:
1 - [mm] x_1^2 [/mm] + [mm] x_2^2 [/mm] + [mm] 2x_1x_2 [/mm] = 0 | -1
- [mm] x_1^2 [/mm] + [mm] x_2^2 [/mm] + [mm] 2x_1x_2 [/mm] = -1
Aber so wirklich komme ich nicht weiter...kann mir jemand helfen?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:17 Sa 08.09.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Lös mal beide Gleichungen getrennt. Aus der zweiten [mm] (-2x_1x_2=0) [/mm] erhältst du z.B., dass [mm] x_1 [/mm] oder [mm] x_2 [/mm] 0 sein muss.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:28 Sa 08.09.2012 | | Autor: | dudu93 |
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 Sa 08.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Danke!
>
> Ich habe jetzt erstmal alles auf eine Seite gebracht:
>
> 1 - [mm]x_1^2[/mm] + [mm]x_2^2[/mm] + [mm]2x_1x_2[/mm] = 0 | -1
Da steht doch nicht "+", sondern:
1 - [mm]x_1^2[/mm] + [mm]x_2^2[/mm] =- [mm]2x_1x_2[/mm] = 0
FRED
>
> - [mm]x_1^2[/mm] + [mm]x_2^2[/mm] + [mm]2x_1x_2[/mm] = -1
>
> Aber so wirklich komme ich nicht weiter...kann mir jemand
> helfen?
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 Sa 08.09.2012 | | Autor: | dudu93 |
Hallo, ich habe hier nun eine weitere Aufgabe liegen.
Es sind folgende partiellen Ableitungen gegeben:
[mm] f_x(x,y) [/mm] = [mm] 8xe^{x^2+y^2}-2x
[/mm]
[mm] f_y(x,y) [/mm] = [mm] 8ye^{x^2+y^2}-2y
[/mm]
Wenn ich z.B. die erste nullsetze:
[mm] f_x(x,y) [/mm] = [mm] 8xe^{x^2+y^2}-2x [/mm] = 0
...dann kann [mm] e^{x^2+y^2} [/mm] ja nicht null werden, da ln(0) nicht definiert ist. Aber das x hinter der 8 könnte ja 0 sein. Das wäre meine Überlegung. Könnte mir jemand weiterhelfen?
LG
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> Hallo, ich habe hier nun eine weitere Aufgabe liegen.
>
> Es sind folgende partiellen Ableitungen gegeben:
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> [mm]f_x(x,y)[/mm] = [mm]8xe^{x^2+y^2}-2x[/mm]
>
> [mm]f_y(x,y)[/mm] = [mm]8ye^{x^2+y^2}-2y[/mm]
>
> Wenn ich z.B. die erste nullsetze:
>
> [mm]f_x(x,y)[/mm] = [mm]8xe^{x^2+y^2}-2x[/mm] = 0
>
> ...dann kann [mm]e^{x^2+y^2}[/mm] ja nicht null werden, da ln(0)
> nicht definiert ist. Aber das x hinter der 8 könnte ja 0
> sein. Das wäre meine Überlegung. Könnte mir jemand
> weiterhelfen?
Hallo,
[mm] $8xe^{x^2+y^2}-2x$ [/mm] = 0
<==>
[mm] 2x(4e^{x^2+y^2}-1)=0
[/mm]
Ein Produkt kann nur =0 sein, wenn einer der beiden Faktoren =0 ist.
Also folgt a) x=0 oder b) [mm] 4e^{x^2+y^2}-1=0.
[/mm]
Zweiteres ist gleichbedeutend mit [mm] e^{x^2+y^2}=0.25, [/mm] und nun logarithmiere.
LG Angela
>
> LG
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:32 So 09.09.2012 | | Autor: | dudu93 |
Danke für die Antwort.
Ich habe nun:
[mm] x^2+y^2 [/mm] = ln(0,25)
[mm] x^2 [/mm] = [mm] ln(0,25)-y^2
[/mm]
Dieses [mm] x^2 [/mm] habe ich dann eingesetzt in [mm] f_y:
[/mm]
[mm] 8ye^{ln(0,25)-y^2+y^2}-2y
[/mm]
= 8 * 0,25 - 2y = 0
2 - 2y = 0 | -2
-2y = -2 |:-2
y = 1
Damit wäre 1 die y-Koordinate des stationären Pkts. Stimmt das so?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:48 So 09.09.2012 | | Autor: | abakus |
> Danke für die Antwort.
>
> Ich habe nun:
>
> [mm]x^2+y^2[/mm] = ln(0,25)
>
> [mm]x^2[/mm] = [mm]ln(0,25)-y^2[/mm]
Hallo,
diese Umstellung ist überflüssig. Es gilt ln(0,25)<0.
[mm] $x^2+y^2$ [/mm] kann aber keine negativen Werte annehmen.
Gruß Abakus
>
> Dieses [mm]x^2[/mm] habe ich dann eingesetzt in [mm]f_y:[/mm]
>
> [mm]8ye^{ln(0,25)-y^2+y^2}-2y[/mm]
>
> = 8 * 0,25 - 2y = 0
>
> 2 - 2y = 0 | -2
>
> -2y = -2 |:-2
>
> y = 1
>
> Damit wäre 1 die y-Koordinate des stationären Pkts.
> Stimmt das so?
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:50 So 09.09.2012 | | Autor: | dudu93 |
Und wie sollte es mann dann sonst machen?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:28 So 09.09.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo, dudu93
> Und wie sollte es mann dann sonst machen?
Du bist fertig!
Mit abakus' Hinweis hat [mm] $f_x$ [/mm] keine weiteren Nullstellen: Weil [mm] $x^2+y^2 \ge [/mm] 0$ ist, ist [mm] $e^{x^2+y^2} \ge [/mm] 1 > 1/4$.
Die Menge der Nullstellen von [mm] $f_x$ [/mm] ist damit [mm] $\bigl\{(0, y): y\in\IR\bigr\}$.
[/mm]
Und die von [mm] $f_y$ [/mm] ist [mm] $\bigl\{(x, 0): x\in\IR\bigr\}$.
[/mm]
Wir haben also genau einen stationären Punkt, nämlich $(0,0)$.
Gruß,
Wolfgang
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