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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Stationäre Punkte
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Stationäre Punkte: nullstellen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:51 Mo 28.01.2013
Autor: mwieland

Aufgabe
Berechnen Sie die stationären Punkte und deren Typen der Funktion

[mm] f(x,y)=x^{2}y^{2}-xy^{3}+y [/mm]

Hallo!

ich komme hier irgendwie bei den Nullstellen nicht weiter...?!

um die stationären Punkte der Funktion auszurechnen setzte ich ja den Gradienten der Funktion =0..

der Gradient der Funktion ist mal

[mm] grad(f(x,y))=\vektor{2xy^{2}-y^{3} \\ 2x^{2}y-3xy^{2}+1} =\vec{0} [/mm]

Dann komm ich also auf ein GLS mit

I: [mm] 2xy^{2}-y^{3}=0 [/mm]
II: [mm] 2x^{2}y-3xy^{2}+1=0 [/mm]

die erste schreibe ich so um
I: [mm] y^{2}*(2x-y)=0 [/mm]

dann sehe ich schon mal aus der ersten Gleichung dass mein erster stationärer Punkt bei (0/0) liegt...

wie komme ich aber an die weiteren nullstellen ran, vor allem bei denen in der zweiten gleichung? gibts da irgendeinen trick den man da immer anwenden kann bei einer speziellen form oder so bzw. wie macht man das am besten??? hab am freitag klausur und bin bei dem thema noch relativ unsicher was die nullstellen ausrechnen betrifft.... die typen bestimmen ist ja dann mit der hesse-matrix kein problem mehr...

vielen dank für eure hilfe,

lg mark

        
Bezug
Stationäre Punkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:58 Mo 28.01.2013
Autor: schachuzipus

Hallo mwieland,


> Berechnen Sie die stationären Punkte und deren Typen der
> Funktion
>  
> [mm]f(x,y)=x^{2}y^{2}-xy^{3}+y[/mm]
>  Hallo!
>
> ich komme hier irgendwie bei den Nullstellen nicht
> weiter...?!
>  
> um die stationären Punkte der Funktion auszurechnen setzte
> ich ja den Gradienten der Funktion =0.. [ok]
>  
> der Gradient der Funktion ist mal
>  
> [mm]grad(f(x,y))=\vektor{2xy^{2}-y^{3} \\ 2x^{2}y-3xy^{2}+1} =\vec{0}[/mm] [ok]
>  
> Dann komm ich also auf ein GLS mit
>
> I: [mm]2xy^{2}-y^{3}=0[/mm]
>  II: [mm]2x^{2}y-3xy^{2}+1=0[/mm]
>  
> die erste schreibe ich so um
>  I: [mm]y^{2}*(2x-y)=0[/mm] [ok]
>  
> dann sehe ich schon mal aus der ersten Gleichung dass mein
> erster stationärer Punkt bei (0/0) liegt...

Soso, dann ist aber [mm] $f_y(0,0)=1\neq [/mm] 0$

>
> wie komme ich aber an die weiteren nullstellen ran, vor
> allem bei denen in der zweiten gleichung? gibts da
> irgendeinen trick den man da immer anwenden kann bei einer
> speziellen form oder so bzw. wie macht man das am besten???
> hab am freitag klausur und bin bei dem thema noch relativ
> unsicher was die nullstellen ausrechnen betrifft.... die
> typen bestimmen ist ja dann mit der hesse-matrix kein
> problem mehr...

I ist erfüllt, wenn $y=0$ oder $x=1/2y$

$y=0$ liefert für II aber Unsinn.

Bleibt $x=1/2y$

Damit in II und lösen ...

>  
> vielen dank für eure hilfe,
>
> lg mark
>  

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Stationäre Punkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:17 Mo 28.01.2013
Autor: mwieland

ok danke mal soweit, wenn ich das dann in II einsetze, komme ich auf y=1 => x=1/2... jettz muss ich aber keine weiteren x-Werte mehr berechnen, da ja die Bedingung x=y/2 aus der ersten gleichung für andere x-Werte nicht mehr erfüllt sein kann oder?

lg mark
Bezug
                        
Bezug
Stationäre Punkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:23 Mo 28.01.2013
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> ok danke mal soweit, wenn ich das dann in II einsetze,
> komme ich auf y=1 => x=1/2... jettz muss ich aber keine
> weiteren x-Werte mehr berechnen, da ja die Bedingung x=y/2
> aus der ersten gleichung für andere x-Werte nicht mehr
> erfüllt sein kann oder?

Jo, [mm] $(x_0,y_0)=(1/2,1)$ [/mm] ist einziger stationärer Punkt ...

>  
> lg mark

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Stationäre Punkte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:29 Mo 28.01.2013
Autor: mwieland

viele dank ;)
Bezug
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