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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Di 26.01.2016 | | Autor: | Mathics |
| Aufgabe | Welche Aussage ist richtig?
Sei f(g(x)) eine Funktion, wobei g(x) eine konkave Funktion ist. Welche Aussage ist richtig?
a) f ist konkav.
b) f ist nicht konkav
c) wenn x ein stationärer Punkt von g ist, dann ist x auch ein stationärer Punkt von f.
d) wenn x ein stationärer Punkt von g ist, dann ist x auch ein stationärer Punkt von f, nur wenn f'(x) > 0. |
Hallo,
die Lösung ist c.
Meine Begründung:
zu a) f könnte konvex sein, womit auch f(g(x)) konvex sein würde, oder?
zu b) f könnte auch konkav sein, womit auch f(g(x)) konkav sein würde.
zu c) der stationärer Punkt von g(x) ergibt sich durch: g'(x) = 0
Die erste Ableitung von f(g(x)) ist: f'(g(x))*g'(x) = 0 Wir können einfach durch f'(g(x)) teilen und haben wie ursprünglich g'(x)=0 stehen.
zu d) Es ist nur wichtig, dass f'(g(x)) nicht Null ist und das geht überhaupt nicht, oder?
LG
Mathics
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Hiho,
> Meine Begründung:
>
> zu a) f könnte konvex sein, womit auch f(g(x)) konvex sein
> würde, oder?
Ja, das widerspricht ja aber noch nicht der Aussage, dass $f(g(x))$ konkav ist.
Du meinst aber das Richtige. Das schöne an Widerlegungen ist doch aber: Gib einfach ein Gegenbeispiel an!
> zu b) f könnte auch konkav sein, womit auch f(g(x)) konkav
> sein würde.
Deine Folgerung stimmt im Allgmeinen nicht (siehe der ersten Aussage).
Aber auch hier: Gib doch einfach ein Gegenbeispiel an!
zu c) und d)
Kann es sein, dass du Bezeichnungen durcheinander gewürfelt hast? In der Aufgabenstellung sprichst du von einer Funktion $h(x) := f(g(x))$.
Nun ist bei c) und d) nach den stationären Punkten von f gefragt. Ist dir klar, dass die Stationären Punkte von f und g in keinem Zusammenhang stehen? Hast du die Aufgabenstellung korrekt abgetippt oder ist eigentlich von den Stationären Punkten von h die Rede?
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Di 26.01.2016 | | Autor: | Mathics |
Das ist 1:1 die Aufgabe.
Ich glaube der Prof meinte, dass f(g(x)) eine Funktion h = f(g(x)) ist und wir dessen stationäre Punkte mit denen von g(x) vergleichen sollen.
LG
Mathics
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:50 Di 26.01.2016 | | Autor: | fred97 |
Nehmen wir an, g hat den stationären Punkt [mm] x_0, [/mm] es ist also [mm] g'(x_0)=0.
[/mm]
Ist h(x)=f(g(x)), so ist [mm] h'(x_0)=f'(g(x_0))*g'(x_0)=0. [/mm] h hat also den stationären Punkt [mm] x_0.
[/mm]
Auf stationäre Punkte von f kann man natürlich nicht schließen.
Man nehme [mm] f(x)=e^x.
[/mm]
FRED
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