Stationäre P. bei 2 variablen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:25 Mi 09.07.2008 | | Autor: | Exlua |
| Aufgabe | Funktion: [mm]z=f(x,y)=(x-1)y^2+(x-6)x[/mm]
a)Berechnen sie alle stationären Punkte von [mm]f(x,y)[/mm]
b)In welche stationären Punkt liegen relative Extrema vor, und welcher Art sind sie?
c)Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene an den Graphen der Funktion [mm]f(x,y)[/mm] im Punkt [mm]P_0(3|-1)[/mm] ?
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
zu a)
Die Partiellen Ableitungen sind kein Problem dank dem Taschenrechner.
[mm]f_x=2x+y^2-6[/mm]
[mm]f_y=2yx-2y)[/mm]
[mm]f_{xx}=2[/mm]
[mm]f_{yy}=2x-2[/mm]
[mm]f_{xy}=f_{yx}=2y[/mm]
Notwendig: [mm]f_y=0[/mm], [mm]f_x=0[/mm]
[mm]2x+y^2-6=0[/mm]
[mm]2yx-2y=0[/mm]
[mm]x_1=\bruch{2y}{2y}=1[/mm] d.h [mm]2+y^2-6=0[/mm] [mm]y_1=\wurzel{4}=2[/mm]
[mm]P_0=(1|2)[/mm]
und nun ?
b)
Ich weiß das mit die 2. Partiellen Ableitungen die Art ansagt. ob maximum oder minimum ?!
oder das ?
[mm]D(x,y)=f_{xx}*f_{yy}-f_{xy}[/mm]
c)
[mm]y_0=-1[/mm]
[mm]x_0=3[/mm]
[mm]z_0=f(3|-1)=-7[/mm]
[mm]f_x(3|-1)=1[/mm]
[mm]f_y(3|-1)=-4[/mm]
[mm]z=x-4y-14[/mm]
Sollte nach dem Lösungsblatt richtig sein,
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 Mi 09.07.2008 | | Autor: | Exlua |
Hiho,
klar ist das mit den Taschenrechner keine Kunst, nur mach ich da weniger Fehler.
Mit unterschlägst meinst du doch bestimmt:
[mm]2yx-2y=0[/mm] -> [mm]y(2x-2)=0[/mm] -> [mm]y(ausgeklammert)=y_2=0[/mm]
Und zu zwei Lösungen aus der Wurzel meinst doch:
[mm] y_1=\wurzel{4}=\pm{2} [/mm]
Jetzt noch nochmal zu den Punkten, laut Lösung:
[mm]P_1=(1|2)[/mm] [mm]P_2=(1|-2)[/mm] [mm]P_3=(\bruch{3}{2}|0)[/mm]
Wie komm ich jetzt auf die 2. 1 und diese [mm] \bruch{3}{2} [/mm] ???
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> Hiho,
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> klar ist das mit den Taschenrechner keine Kunst, nur mach
> ich da weniger Fehler.
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> Mit unterschlägst meinst du doch bestimmt:
> [mm]2yx-2y=0[/mm] -> [mm]y(2x-2)=0[/mm] -> [mm]y(ausgeklammert)=y_2=0[/mm]
>
> Und zu zwei Lösungen aus der Wurzel meinst doch:
> [mm]y_1=\wurzel{4}=\pm{2}[/mm]
>
> Jetzt noch nochmal zu den Punkten, laut Lösung:
> [mm]P_1=(1|2)[/mm] [mm]P_2=(1|-2)[/mm] [mm]P_3=(\bruch{3}{2}|0)[/mm]
>
> Wie komm ich jetzt auf die 2. 1 und diese [mm]\bruch{3}{2}[/mm] ???
Hallo,
Du hast die Lösungen y=0 und x=1 ja aus [mm] f_y(x,y)=0 [/mm] gewonnen.
Die jeweils zugehörigen x bzw. y-Werte findest Du mithilfe von [mm] f_x(x,y)=0
[/mm]
1. y=0
[mm] f_x(x,0)=0 [/mm] <==> 2x-6=0 ==> x= ???.
Also ist (???, 0) einer der kritischen Punkte
2. x=1
[mm] f_x(1,y)=0 [/mm] <==> 2+y²-6=0 ==> [mm] y=\pm [/mm] ???
Also sind (1, [mm] \pm [/mm] ???) weitere kritische Punkte.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:12 Mi 09.07.2008 | | Autor: | Exlua |
Und die [mm] \bruch{3}{2} [/mm] hole ich mir aus [mm] f_{xx} [/mm] oder andere höhere Ableitungen ? oder gibts da noch ein kniff bei [mm] f_x [/mm] / [mm] f_y [/mm] ?
Kann mir jemand nochmal was kurz zu Aufgabe b) erzählen ? läuft das jetzt oder [mm] f_{xy} [/mm] und co. Oder über diese Determinate D, Zur Bestimmung von max./min. ? Hat das Wort: relative zur Folge das es über D "läuft"?
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> Und die [mm]\bruch{3}{2}[/mm] hole ich mir aus [mm]f_{xx}[/mm] oder andere
> höhere Ableitungen ?
Bloß nicht!
Wo kommt eigentlich das Gerücht mit den 3/2 her?
(3/2 , 0) ist kein kritischer Punkt. Die korrekten Koordinaten sind (3,0).
Gruß v. Angela
oder gibts da noch ein kniff bei [mm]f_x[/mm] /
> [mm]f_y[/mm] ?
>
> Kann mir jemand nochmal was kurz zu Aufgabe b) erzählen ?
> läuft das jetzt oder [mm]f_{xy}[/mm] und co. Oder über diese
> Determinate D, Zur Bestimmung von max./min. ? Hat das Wort:
> relative zur Folge das es über D "läuft"?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:23 Mi 09.07.2008 | | Autor: | Exlua |
Deswegen frag ich ja auf die 3 als Lösung bin ich ohne Problem gekommen.
Also ist [mm] x_3=\bruch{3}{2} [/mm] falsch ! (was in der Lösung steht)
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Hallo,
die Art der Extremwerte kannst Du (wenn Du Glück hast) mithilfe der 2.partiellen Ableitungen bestimmen.
Man betrachtet hier die Hessematrix
[mm] H_(x,y)=\pmat{ f_x_x(x,y) & f_x_y(x,y) \\ f_y_x(x,y) & f_y_y(x,y) }
[/mm]
an den errechneten kritischen Stellen. (Diese Matrix ist symmetrisch, denn [mm] f_x_y=f_y_x)
[/mm]
Ist sie pos. definit, hast Du ein Minimum, ist sie negativ definit, ein Maximum.
Pos. definit: die Determinante der Matrix und das linke obere Element sind positiv. (Minimum)
Neg. definit: Die Determinante ist positiv und das linke obere Element negativ. (Maximum)
Ist die Det. [mm] \not=0, [/mm] aber keiner der oberen beiden Fälle, so hast Du einen Sattelpunkt, also kein Min und kein Max.
Ist die Determinante =0, so kannst Du anhand der 2. part. Ableitungen keine Entscheidung treffen.
Gruß v. Angela
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Dein Taschenrechner hat richtig gerechnet.
