Stationäre Matrix < Prozesse+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:35 Fr 26.03.2010 | | Autor: | ggg |
| Aufgabe | Eine Konsoleverleih besitzt in einer Stadt drei Filialen: A, B und C. Die Konsolen werden nach einem - vom Besitzer als optimal eingeschätzten Verfahren- am Ende des Monats rotiert:
Zum Monatswechsel wechseln 15% der Filiale von A zu B und 10% zu C. 15% der Konsolen bei B werden zu A gesandt und 20% zu C. Filiale C sendet je 5% der Konsolen zu A und B.
Bestimmen Sie die prozentuale Verteilung der Konsolen , die sich langfristig einstellen wird.
sendet je 5% der Konsolen zu A und B.
Bestimmen Sie die prozentuale Verteilung der Konsolen , die sich langfristig einstellen wird.
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Hi,
Ich bin beim folgendes Problem am zocken  , wo ich keine Lösung finde.
Ich muss offensichlich eine Stationäre Matrix der Form A*x=x aufstellen.
Die Matrix lautet demzufolge
[mm] \pmat{ 0,75 & 0,15 & 0,1\\ 0,15 & 0,65 & 0,2\\ 0,05 & 0,05 & 0,9 }
[/mm]
meine Frage ist wie löse ich nun die Matrix um den Spaltenvektor zu erhalten.
Soweit ich weiß bringe ich die Matrix in der Form
1.) [mm] 0,75x_{1}+ 0,15x_{2}+ 0,1x_{3}=x_{1}
[/mm]
2.) [mm] 0,15x_{1}+ 0,65x_{2}+ 0,2x_{3}=x_{2}
[/mm]
3.) [mm] 0,05x_{1}+ 0,05x_{2}+ 0,9x_{3}=x_{3}
[/mm]
Was mache ich dann weiter. Ein Ansatz habe ich ja, aber das technische fehlt mir.
Wenn mir das jemand zeigen würde, wäre das wirklich super nett
lg
Jonas
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> Eine Konsoleverleih besitzt in einer Stadt drei Filialen:
> A, B und C. Die Konsolen werden nach einem - vom Besitzer
> als optimal eingeschätzten Verfahren- am Ende des Monats
> rotiert:
> Zum Monatswechsel wechseln 15% der Filiale von A zu B und
> 10% zu C. 15% der Konsolen bei B werden zu A gesandt und
> 20% zu C. Filiale C sendet je 5% der Konsolen zu A und B.
> Bestimmen Sie die prozentuale Verteilung der Konsolen ,
> die sich langfristig einstellen wird.
> sendet je 5% der Konsolen zu A und B.
> Bestimmen Sie die prozentuale Verteilung der Konsolen ,
> die sich langfristig einstellen wird.
>
>
> Hi,
> Ich bin beim folgendes Problem am zocken , wo ich
> keine Lösung finde.
>
> Ich muss offensichlich eine Stationäre Matrix der Form
> A*x=x aufstellen.
> Die Matrix lautet demzufolge
>
> [mm]\pmat{ 0,75 & 0,15 & 0,1\\ 0,15 & 0,65 & 0,2\\ 0,05 & 0,05 & 0,9 }[/mm]
Hallo,
ich nehme an, daß im Vektor x die Anzahlen der Konsolen in A, B, C stehen sollen.
Wenn das so ist, stimmt die aufgestellte Matrix nicht.
Überleg' Dir genau, wie die neue Anzahl der Konsolen z.B. in der Filiale A aus der aktuellen Verteilung entsteht, also der obere Eintrag des Vektors Ax.
>
> meine Frage ist wie löse ich nun die Matrix um den
> Spaltenvektor zu erhalten.
>
> Soweit ich weiß bringe ich die Matrix in der Form
>
> 1.) [mm]0,75x_{1}+ 0,15x_{2}+ 0,1x_{3}=x_{1}[/mm]
> 2.) [mm]0,15x_{1}+ 0,65x_{2}+ 0,2x_{3}=x_{2}[/mm]
>
> 3.) [mm]0,05x_{1}+ 0,05x_{2}+ 0,9x_{3}=x_{3}[/mm]
>
> Was mache ich dann weiter. Ein Ansatz habe ich ja, aber das
> technische fehlt mir.
> Wenn mir das jemand zeigen würde, wäre das wirklich
> super nett
Wie gesagt, die Matrix stimmt nicht.
Aber wenn sie stimmen würde, ginge es so weiter:
In 1.) subtrahierst Du [mm] x_1, [/mm] in 2.) [mm] x_2 [/mm] und in 3.) [mm] x_3.
[/mm]
Du hast dann ein lineares, homogenes LGS, welches nun mit einer der Methoden, die Du kennst, zu lösen ist.
Gruß v. Angela
>
> lg
> Jonas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Fr 26.03.2010 | | Autor: | ggg |
Danke für deine schnelle Antwort
Ich bin echt überrascht das meine gestellte Übergangsmatrix falsch ist.
Ich finde auch nicht so den Fehler. Gib mir mal bitte ein Tipp, wo der Fehler liegt.
Ich schreibe mal hin wie ich da vorangegangen bin:
A B C
A 0,15 0,1
B 0,15 0,2
C 0,05 0,05
Da die Matrix stochastisch ist gilt unmittelbar für sie ,das für alle Zeilen der Matrix die Summe der Einträge 1 ergeben muss.
Daraus folgt dann
A B C
A 0,75 0,15 0,1
B 0,15 0,65 0,2
C 0,05 0,05 0,9
und somit die matrix [mm] \pmat{ 0,75 & 0,15 & 0,1\\ 0,15 & 0,65 & 0,2\\ 0,05 & 0,05 & 0,9 } [/mm]
Und ich meine das ergibt Sinn, weil 75% der Konsolen in der 1. Filliale bleiben müssen wenn schon 15% und 10% zu B und C übergehen und dieses Resultat folgt auch für die anderen Filialen B und C. Aus dem Grunde bin ich überzeugt, das ich die Ü-Matrix richtig aufgestellt habe. Aber vielleicht habe ich auch einen Denkfehler und mich freut es immer gerne von den Erfahrenen belehrt und korrigiert zu werden.
lg
Jonas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:52 Fr 26.03.2010 | | Autor: | Blech |
> Danke für deine schnelle Antwort
>
> Ich bin echt überrascht das meine gestellte
> Übergangsmatrix falsch ist.
Sie stimmt, aber da Du zeilen- statt spaltenweise vorgehst, mußt Du für die weitere Rechnung dann auch von links multiplizieren.
$ [mm] 0,75x_{1}+ 0,15x_{2}+ 0,1x_{3}=x_{1} [/mm] $
d.h. 75% von A, 15% von B und 10% von C sollen zusammen wieder das urspr. A ergeben.
Aber das ist nicht, was Du willst. Die Werte sind ja, was mit den Konsolen *aus* A passiert und nicht welche Konsolen *nach* A kommen.
Du rechnest $Mx=x$, aber so wie Du die Matrix aufstellst, brauchst Du
[mm] $x^tM=x^t$ [/mm] oder $M^tx=x$
ciao
Stefan
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> Ich bin echt überrascht das meine gestellte
> Übergangsmatrix falsch ist.
> Ich finde auch nicht so den Fehler. Gib mir mal bitte ein
> Tipp, wo der Fehler liegt.
Hallo,
das hatte ich doch schon getan:
wenn [mm] x_1, x_2, x_3 [/mm] die Anzahl der Konsolen in A,B, C sind, wie bekommst Du dann die neue Anzahl der Konsolen in A?
neue Anzahl in A = [mm] ...*x_1+...*x_2 [/mm] + [mm] ...*x_3
[/mm]
Du siehst dann, daß in der ersten Zeile der Matrix alles stehen muß, was zu A geht.
Gruß v. Angela
> Ich schreibe mal hin wie ich da vorangegangen bin:
> A B C
> A 0,15 0,1
>
> B 0,15 0,2
>
> C 0,05 0,05
>
>
>
>
> Da die Matrix stochastisch ist gilt unmittelbar für sie
> ,das für alle Zeilen der Matrix die Summe der Einträge 1
> ergeben muss.
>
> Daraus folgt dann
>
>
> A B C
> A 0,75 0,15 0,1
>
> B 0,15 0,65 0,2
>
> C 0,05 0,05 0,9
>
> und somit die matrix [mm]\pmat{ 0,75 & 0,15 & 0,1\\ 0,15 & 0,65 & 0,2\\ 0,05 & 0,05 & 0,9 }[/mm]
>
> Und ich meine das ergibt Sinn, weil 75% der Konsolen in der
> 1. Filliale bleiben müssen wenn schon 15% und 10% zu B und
> C übergehen und dieses Resultat folgt auch für die
> anderen Filialen B und C. Aus dem Grunde bin ich
> überzeugt, das ich die Ü-Matrix richtig aufgestellt habe.
> Aber vielleicht habe ich auch einen Denkfehler und mich
> freut es immer gerne von den Erfahrenen belehrt und
> korrigiert zu werden.
>
> lg
> Jonas
>
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