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Standardnormalverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:54 So 07.06.2009
Autor: DerGraf

Aufgabe
Sind die Zufallsgrößen [mm] \psi_1 [/mm] und [mm] \psi_2 [/mm] unkorreliert bzw. unabhängig, wenn gilt:

[mm] \psi_1~N(0,1) [/mm] und [mm] \psi_2=\psi_1^2-1 [/mm]

Hallo,

Laut meinen Hefteraufzeichungen gilt für die Standardnormalverteilung [mm] E\psi_1=0 [/mm] und [mm] D^2\psi_1=E(\psi_1-E\psi_1)^2=E(\psi_1)^2=1 [/mm]

Damit ergibt sich:

[mm] cov(\psi_1,\psi_2)=E((\psi_1-E\psi_1)(\psi_2-E\psi_2)) [/mm]
        [mm] =E(\psi_1(\psi_1^2-1-E(\psi_1^2-1)) [/mm]
        [mm] =E(\psi_1(\psi_1^2-1-1+E(1)) [/mm]
        [mm] =E(\psi_1(\psi_1^2-1)) [/mm]
        [mm] =E\psi_1^3-E\psi_1 [/mm]
        [mm] =E\psi_1^3 [/mm]

Welchen Wert nimmt jetzt [mm] E\psi_1^3 [/mm] an?

Grüß
DerGraf

        
Bezug
Standardnormalverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:22 So 07.06.2009
Autor: luis52


> Sind die Zufallsgrößen [mm]\psi_1[/mm] und [mm]\psi_2[/mm] unkorreliert bzw.
> unabhängig, wenn gilt:
>  
> [mm]\psi_1~N(0,1)[/mm] und [mm]\psi_2=\psi_1^2-1[/mm]
>  Hallo,
>  
> Laut meinen Hefteraufzeichungen gilt für die
> Standardnormalverteilung [mm]E\psi_1=0[/mm] und
> [mm]D^2\psi_1=E(\psi_1-E\psi_1)^2=E(\psi_1)^2=1[/mm]
>  
> Damit ergibt sich:
>  
> [mm]cov(\psi_1,\psi_2)=E((\psi_1-E\psi_1)(\psi_2-E\psi_2))[/mm]
>          [mm]=E(\psi_1(\psi_1^2-1-E(\psi_1^2-1))[/mm]
>          [mm]=E(\psi_1(\psi_1^2-1-1+E(1))[/mm]
>          [mm]=E(\psi_1(\psi_1^2-1))[/mm]
>          [mm]=E\psi_1^3-E\psi_1[/mm]
>          [mm]=E\psi_1^3[/mm]
>  
> Welchen Wert nimmt jetzt [mm]E\psi_1^3[/mm] an?

0

vg Luis


Bezug
                
Bezug
Standardnormalverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:04 Mo 08.06.2009
Autor: DerGraf

Hallo,
vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Und wie kommst du auf 0? [mm] E\psi^3 [/mm] kann ich ja leider nicht einfach mit [mm] E\psi*E\psi^2 [/mm] ausrechnen.

Gruß DerGraf

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Bezug
Standardnormalverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:08 Mo 08.06.2009
Autor: luis52


> vielen Dank für deine schnelle Antwort.
>  Und wie kommst du auf 0?

es ist [mm] $\operatorname{E}[\psi^3]=\int_{-\infty}^\infty z^3\varphi(z)\,dz$, [/mm]  worin [mm] $\varphi$ [/mm] die Dichte der
Standardnormalverteilung ist. Schau dir mal den Integranden genauer an.

>[mm]E\psi^3[/mm] kann ich ja leider nicht

> einfach mit [mm]E\psi*E\psi^2[/mm] ausrechnen.

Nein, das nicht.

vg Luis


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Bezug
Standardnormalverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:09 Mo 08.06.2009
Autor: DerGraf

[mm] \operatorname{E}[\psi^3]=\int_{-\infty}^\infty z^3\varphi(z)\,dz=\int_{-\infty}^\infty z^2*z\varphi(z)\,dz=-z^2\varphi(z)[_{-\infty}^{\infty}+2*\int_{-\infty}^\infty z\varphi(z)\,dz [/mm]

im Integral steht ja nichst anderes als [mm] E\psi_1, [/mm] was ja 0 ist. Im Term vor dem Integral taucht das z nur als [mm] z^2 [/mm] auf, wodurch sich aus Symmetriegründen auch hier eine 0 ergibt, richtig?

Gruß
DerGraf

Bezug
                                        
Bezug
Standardnormalverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:30 Mo 08.06.2009
Autor: luis52

Moin,

> [mm]\operatorname{E}[\psi^3]=\int_{-\infty}^\infty z^3\varphi(z)\,dz=\int_{-\infty}^\infty z^2*z\varphi(z)\,dz=-z^2\varphi(z)[_{-\infty}^{\infty}+2*\int_{-\infty}^\infty z\varphi(z)\,dz[/mm]

was ist denn das fuer eine Regel? Durchschaue ich nicht. [verwirrt]


Es ist vielmehr

[mm] $\int_{-\infty}^\infty z^3\varphi(z)\,dz=\int_{-\infty}^0 z^3\varphi(z)\,dz+\int_{0}^\infty z^3\varphi(z)\,dz [/mm] $


und mit $u=-z$ und [mm] $\varphi(-u)=\varphi(u)$: [/mm]

[mm] \begin{matrix} \int_{-\infty}^0 z^3\varphi(z)\,dz &=&-\int_{\infty}^0 (-u)^3\varphi(-u)\,du \\ &=&-\int_0^{\infty} u^3\varphi(u)\,du \end{matrix} [/mm]

vg Luis          


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Bezug
Standardnormalverteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:57 Mo 08.06.2009
Autor: DerGraf

Ich hatte es mit partieller Integration versucht, aber dein Weg sieht irgendwie noch einfacher aus :)
Vielen Dank für deine Hilfe!

Gruß DerGraf

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