Standardnormalverteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei X eine standard-normalverteilte Zufallsvariable, d.h. X [mm] \sim [/mm] N(0,1). Zeigen Sie, dass für alle x > 0 gilt
[mm] \IP(X>x)\le \bruch{1}{x\wurzel{2\pi}}e^{-\bruch{1}{2}}x^{2}. [/mm] |
Moin!,
habe bis jetzt dazu notiert
Dichtefunktion ist [mm] f=\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}e^{- \bruch{1}{2}x^{2}}
[/mm]
[mm] F(x)=\integral_{-\infty}^{x}f(x)dx
[/mm]
Also [mm] \IP(X>x)=F(\infty)-F(x)=1-F(x)
[/mm]
Also ist zu zeigen:
[mm] 1-\integral_{-\infty}^{x}\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}e^{- \bruch{1}{2}x^{2}} \le \bruch{1}{x\wurzel{2\pi}}e^{-\bruch{1}{2}}x^{2}.
[/mm]
Also [mm] 1-F(x)=1-\integral_{-\infty}^{x}\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}e^{-\bruch{1}{2}x^{2}}=1-\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\integral_{-\infty}^{x}e^{-\bruch{1}{2}x^{2}}
[/mm]
Nach Integration folgt:
[mm] 1-F(x)=1-(-\bruch{1}{x\wurzel{2\pi}}e^{-\bruch{1}{2}x^{2}})=1+\bruch{1}{x\wurzel{2\pi}}e^{-\bruch{1}{2}x^{2}}
[/mm]
Nur so stimmt natürlich die Ungleichung nicht.. Wo liegt denn hier der Fehler?
Liebe Grüße
derriemann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:01 Sa 31.05.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo derriemann,
der Fehler liegt bei Deiner integrierten Funktion, bei der Du augenscheinlich als erster Mensch der Welt eine geschlossene Lösung für die Integration über die Dichtefunktion gefunden hast. Ich muss Dich aber leider enttäuschen, denn wenn Du Dein Ergebnis mal ableitest (bitte auch an das x im Nenner denken), wirst Du feststellen,dass dabei nicht die ursprüngliche Dichtefunktion dabei herauskommt.
Viele Grüße,
Infinit
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Ok, stimmt da haste recht 
Nur wie könnte man stattdessen arbeiten?
Liebe Grüße
derriemann
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mo 02.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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