Standardbeweis der Algebra ?! < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 22:11 Di 18.01.2005 | | Autor: | Raute50 |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
(http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=30966)
NAbend!
Bitte wer kann mir folgendes erklären:
Sei R kommutativer RIng.
Es gilt I [mm] \subset [/mm] R maximales Ideal [mm] \gdw [/mm] R modulo I ist Körper
Hoffe ihr könnt mir bis Do Abend helfen !!!
Danke im Voraus!
#50
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:46 Di 01.02.2005 | | Autor: | pjoas |
Hallo, leider komme ich etwas zu spät, aber vielleicht hilft dir der folgende Beweis doch etwas weiter.
Idee:
In der einen Richtung konstruiert man zu einem beliebigen Element aus R/I ein Inverses, in der anderen Richtung zeigt man, dass jedes I umfassende Ideal aus R bereits R ist, damit ist I maximal.
"=>"
Sei$I$ ein maximales Ideal. Sei [mm] $0\not=a+I\in [/mm] R/I$ beliebig mit [mm] ${a}\not\in{I}$.
[/mm]
Betrachte das Ideal [mm] ${I}\subseteq{J}=I+(a)$.
[/mm]
Es gilt [mm] ${I}\not={J}$ [/mm] und daher ${J}={R}$, da I maximal.
Dann ist [mm] $1\inJ$, [/mm] d.h. es existiert ein [mm] $b\inR$ [/mm] und ein [mm] $c\inI$ [/mm] mit $1=ba+c$.
Somit ist $(b+I)(a+I) = ba + I = 1 + I$. Also ist $b+I$ das Inverse zu $a+I$ und ${R}/{I}$ ein Körper.
"<="
Sei [mm] ${I}\subseteq{J}\subseteq{R}$ [/mm] ein Ideal mit [mm] $I\not=J$. [/mm] Sei weiterhin
[mm] $a\in{J\I}$.
[/mm]
Dann ist [mm] $a+{I}\not=I$in${R}/{I}$.
[/mm]
Da ${R}/{I}$ ein Körper ist, existiert ein [mm] $b\in{R}$mit
[/mm]
$(b+I)(a+I)=ba+I=1+I$.
Es folgt, dass [mm] $1-ba\in{I}$, [/mm] also [mm] $1\in(a)+I\subseteq{J}$.
[/mm]
Somit ist ${J}={R}$ und $I$ ist maximal.
Das ganze ist natürlich nicht auf meinem Mist gewachsen, aber diesen Beweis bzw. diese Idee wirst du überall finden, wo diese Aussage bewiesen werden soll.
Gruß, Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:03 Di 01.02.2005 | | Autor: | pjoas |
hmm ich haette vielleicht dem Forumtopic nachgehen sollen... hätte mir einiges an Zeit erspart ;)
...dummer Patrick... dummer Patrick ;)
Gruß, PJ
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