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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Do 09.03.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
In einer Klasse gabs mit Notenpunkten folgendes Ergebnis:
$ [mm] \begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline\multicolumn{16}{|c|}{\texttt{Punktespiegel}}\\ \hline\hline 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\ \hline\hline 3&2&3&1&2&2&2&0&1&1&0&1&0&0&0&1\end{array} [/mm] $
Berechnen sie die Standardabweichung.
Naja, ich bin nach folgender Formel vorgegangen:
Das arithmetische Mittel berechnet, bzw den Notendurchschnitt, dieser ist 4,42 bei 19Leuten.
Und nun benutze ich die Formel:
[mm] \bruch{1}{Anzahl der Schueler}*((Notenpunkte-arithmetisches Mittel)^2*Anzahl [/mm] dieser Note)+....)
Ergibt als Formel:
[mm] \bruch{1}{19}((0-4.42)^2*3+(1-4.42)^2*2+(2-4.42)^2*3+(3-4.42)^2+(4-4.42)^2*2+(5-4.42)^2*2+(6-4.42)^2*2+(8-4.42)^2+(9-4.42)^2+(11-4.42)^2+(15-4.42)^2)
[/mm]
=15,61
Als Varianz... Ziehe ich daraus die Wurzel für die Standardabweichung, erhalte ich 3,95. Das Ergebnis sollte aber sein 4,06.
Kann jemand den Fehler finden? Falsches Vorgehen vielleicht?
danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 Do 09.03.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo,
> Und nun benutze ich die Formel:
>
> [mm]\bruch{1}{Anzahl der Schueler}*((Notenpunkte-arithmetisches Mittel)^2*Anzahl[/mm]
> dieser Note)+....)
Üblicherweise teilt man bei der (empirischen) Standardabweichung durch "Anzahl der Schüler - 1". Liegt da vielleicht dein Fehler?
Also:
[mm]\sigma^2=\bruch{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2[/mm]
wobei [mm] $\overline{x}$ [/mm] das arithmetische Mittel ist und [mm] $x_i$ [/mm] die Notenpunkte.
Viele Grüße
Astrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Do 09.03.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo Astrid.
Hallo alle anderen Interessierten.
> > Und nun benutze ich die Formel:
> >
> > [mm]\bruch{1}{Anzahl der Schueler}*((Notenpunkte-arithmetisches Mittel)^2*Anzahl[/mm]
> > dieser Note)+....)
>
> Üblicherweise teilt man bei der (empirischen)
> Standardabweichung durch "Anzahl der Schüler - 1". Liegt da
> vielleicht dein Fehler?
>
> Also:
>
> [mm]\sigma^2=\bruch{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2[/mm]
>
> wobei [mm]\overline{x}[/mm] das arithmetische Mittel ist und [mm]x_i[/mm] die
> Notenpunkte.
Ja, also wenn ich bei meiner Formel [mm] \bruch{1}{18} [/mm] nehme (das ist doch das selbe wie beim Summenzeichen (das mir übrigens nichts sagt)?). Dann komme ich tatsächlich auf 4,06.
Nun ist meine Frage, warum teilt man da durch n-1? Und nicht durch n?
Bitte gebt mir keinen Hinweis auf Wikipedia oder die Mathedatenbank, daraus werde ich nicht schlau. Kanns evtl. jemand mit seinen Worten probieren? Oder ist das jetzt zu viel verlangt von mir?
Danke,
Grüße Phoney
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 Do 09.03.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo Phoney!
> > Also:
> >
> > [mm]\sigma^2=\bruch{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2[/mm]
>
> >
> > wobei [mm]\overline{x}[/mm] das arithmetische Mittel ist und [mm]x_i[/mm] die
> > Notenpunkte.
>
> Ja, also wenn ich bei meiner Formel [mm]\bruch{1}{18}[/mm] nehme
> (das ist doch das selbe wie beim Summenzeichen (das mir
> übrigens nichts sagt)?). Dann komme ich tatsächlich auf
> 4,06.
Das Summenzeichen bedeutet einfach nur, dass du jeweils [mm]\mbox{(Notenpunkte-arithmet. Mittel)}^2[/mm] aufsummierst (wie du es ja getan hast), also:
[mm]\sigma^2=\bruch{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2=
\bruch{1}{18}(3 \cdot (0-4,42)^2 + 2\cdot (1-4,42)^2+...)[/mm] usw.
> Nun ist meine Frage, warum teilt man da durch n-1? Und
> nicht durch n?
Eine mögliche Antwort wäre: Weil die empirische Standardabweichung so definiert ist. 
Der tatsächliche Grund ist etwas tiefergehend, ich versuche es mal, zu begründen:
Stell' dir deine Daten als Stichprobe von (hier 19) Werten aus einer größeren Menge von Werten (meinetwegen 100 Werte) vor. Solche Probleme treten in der Realität sehr oft auf. Nun ist ja dein Wert für die Standardabweichung, den du berechnest, abhängig von deinen zufällig ausgewählten 19 Daten, also selbst zufällig.
Wenn du nun aber aus den 19 Werten deine (empirische) Standardabweichung berechnest wie oben, also mit [mm] $\bruch{1}{n-1}$, [/mm] dann ist der Erwartungswert davon gleich der tatsächlichen Standardabweichung (wenn du alle 100 Werte nehmen würdest).
Sehr grob läßt sich das intuitiv so erklären, dass du quasi 19 frei veränderbare Informationen hast abzüglich eins, da du aus deinen Daten schon einen Wert berechnet hast (nämlich das arithmet. Mittel), der wieder einfließt.
Hierzu nun doch noch ein Link zu Wikipedia: ![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") ![[]](/images/popup.gif) Freiheitsgrade
Genug verwirrt? ![[konfus]](/images/smileys/konfus.gif "[konfus]") Dann merk dir einfach: Man teilt durch $n-1$!
Viele Grüße
Astrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 Fr 10.03.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo Astrid. Vielen dank für die wiederholte Antwort.
Die Erklärung war jedenfalls plausibel.
Danke!
Gruß
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