Stand.abw und Korrelationskoef < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:10 Fr 08.02.2013 | | Autor: | meg |
| Aufgabe | | Es seien [mm] X_{1}, X_{2} [/mm] Zufallsvariablen mit Korrelationskoeffizient $ [mm] \rho_{X,Y} [/mm] $. Zu zeigen [mm] \sigma_{X+Y} \le \sigma_{X}+\sigma_{Y}. [/mm] |
hallo,
könnte mir vielleicht jemand sagen, ob ich das richtig gemacht habe??
Mit [mm] $\rho (X_{1},X_{2}) [/mm] = [mm] \frac{Cov(X_{1},X_{2})}{\sigma_{X_{1}} \sigma_{X_{2}}} [/mm] $ gilt
$ [mm] \sigma_{X_{1}+X_{2}} [/mm] = [mm] \sqrt{\sigma_{X_{1}}^2+\sigma_{X_{2}}^2 +2 \cdot Cov(X_{1},X_{2})} [/mm] = [mm] \sqrt{\sigma_{X_{1}}^2+\sigma_{X_{2}}^2 +2 \cdot \sigma_{X_{1}} \sigma_{X_{2}} \rho (X_{1}, X_{2})} $
[/mm]
Nach Cauchy-Schwarzscher Ungleichung [mm] \[ |Cov(X_{1},X_{2})| \le \sigma_{X_{1}} \sigma_{X_{2}} \] [/mm] gilt dann weiter:
$ [mm] \sigma_{X_{1}+X_{2}} [/mm] = [mm] \sqrt{\sigma_{X_{1}}^2+\sigma_{X_{2}}^2 +2 \sigma_{X_{1}} \sigma_{X_{2}} \rho (X_{1}, X_{2})} \le \sqrt{\sigma_{X_{1}}^2+\sigma_{X_{2}}^2 +2 \sigma_{X_{1}} \sigma_{X_{2}}} [/mm] = [mm] \sqrt{(\sigma_{X_{1}}+\sigma_{X_{2}})^2} [/mm] = [mm] \sigma_{X_{1}}+ \sigma_{X_{2}} [/mm] $
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:11 Fr 08.02.2013 | | Autor: | luis52 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Moin meg,
ich finde das folgende Argument einleuchtender:
Setze $f(\rho)= \sqrt{\sigma_{X_{1}}^2+\sigma_{X_{2}}^2+2 \sigma_{X_{1}} \sigma_{X_{2}} \rho $, $-1\le\rho\le +1$. $f$ ist offensichtilch streng monoton steigend und hat somit ein Randmaximum fuer $\rho=1$, so dass
$f(\rho)< f(1)=\sqrt{(\sigma_{X_{1}}+\sigma_{X_{2}})^2}=\sigma_{X_{1}}+\sigma_{X_{2}$
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:07 Sa 09.02.2013 | | Autor: | meg |
Hallo Luis, vielen Dank für den hilfreichen Hinweis..
VG
meg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 So 10.02.2013 | | Autor: | meg |
Ich stelle mir jetzt die Frage, ob ich mit dem obigen Beweis Folgendes (bzgl. der Quantilfunktion der Normalverteilung) begründen kann?
Ich nehme noch zusätzlich an, dass $ [mm] \alpha \ge [/mm] 0,5$ ist, damit die Werte von [mm] \Phi^{-1}( \alpha) [/mm] positiv ausfallen.
[mm] $\mu_{X_{1}}+\mu_{X_{2}} [/mm] + [mm] \Phi^{-1}( \alpha) f(\rho) \le \mu_{X_{1}}+\mu_{X_{2}} [/mm] + [mm] \Phi^{-1} [/mm] f(1) $
Ich würde sagen ja... und ihr?
Grüße
meg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 Mo 11.02.2013 | | Autor: | luis52 |
> [mm]\mu_{X_{1}}+\mu_{X_{2}} + \Phi^{-1}( \alpha) f(\rho) \le \mu_{X_{1}}+\mu_{X_{2}} + \Phi^{-1} f(1)[/mm]
>
> Ich würde sagen ja... und ihr?
Auch ja. Aber wozu ist das gut?
vg Luis
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