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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Stammfunktionen von
f(x) = [mm] \frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}}
[/mm]
und
g(x) = [mm] \frac{1}{2+sin(x)}
[/mm]
durch geeignete Substitution |
Das Prinzip der Substitution ist mir klar.
Ich weiß aus der Übung, dass geeignete (spezielle) Substitutionen geben soll.
Leider war ich in der entscheidenden Vorlesung nicht da.
Kann mir jemand einen Tipp für eine solche geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:04 Mo 19.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo kater
Eines der wichtigen Instrumente des Studiums ist Zusammenarbeit mit Kollegen. Wenn man halt mal ne Vorlesung versäumt hat, hilft Kommunikation mehr als das Netz.
1. solltest du erst mal rumprobieren, welche Substitution hast u schon versucht?
2. Kollegen fragen.
Wenn wir dafür sorgen, dass du zweitens versäumst, schaden wir dir.
ein Tip zur ersten: quadratische Ergänzung [mm] (x-a)^2+b [/mm] , substitution [mm] (x-a)/\wurzel{b}=u
[/mm]
Gruss leduart
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Ja, da stimmte ich dir generell zu. Der, mit dem ich zusammenarbeite, ist mir aber leider im Moment keine große Hilfe. Aber zurück zur Aufgabe. Erstmal danke für den Tipp.
Mittels der Umformung ergibt sich:
[mm] \frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}} [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{(x^2+x+\frac{1}{4})+\frac{3}{4}}} [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}}
[/mm]
Wüßte aber nicht wie ich deine Substitution darauf anwenden sollte. Ich würde [mm] u=x+\frac{1}{2} [/mm] setzen, aber das ist sicher nicht, was du meintest.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Mo 19.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
doch u=x+1/2 ist der erste Schritt- aber da [mm] \wurzel{u^2+1} [/mm] noch besser ist kann man die 3/4 gleich mit rausnehmen. sonst kommt danach die zweite Substitution.
Gruss leduart
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Okay, ich mache mal die zwei Schritte, auch wenn es anders einfacher ist.
--- [mm] u=x+\frac{1}{2}
[/mm]
--- [mm] \frac{du}{dx} [/mm] = 1
[mm] \int{\frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}} [/mm] dx
= [mm] \int{\frac{1}{u^2+\frac{3}{4}}} [/mm] du
--- r= [mm] \frac{2u}{\sqrt{3}}
[/mm]
--- [mm] \frac{dr}{du} [/mm] = [mm] \frac{2}{\sqrt{3}}
[/mm]
= [mm] \int{\frac{1}{\sqrt{(\frac{2u}{\sqrt{3}})^2*\frac{3}{4}+\frac{3}{4}}}} [/mm] du
= [mm] \int{\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}*(r^2+1)}}} \frac{\sqrt{3}}{2} [/mm] dr
= [mm] \int{\frac{1}{\sqrt{r^2+1}}} [/mm] dr
Was laut Marius-Tabelle... danke
= arcsinh t ist.
soweit erstmal richtig?.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Okay, ich mache mal die zwei Schritte, auch wenn es anders
> einfacher ist.
>
> --- [mm]u=x+\frac{1}{2}[/mm]
> --- [mm]\frac{du}{dx}[/mm] = 1
>
> [mm]\int{\frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}}[/mm] dx
> = [mm]\int{\frac{1}{u^2+\frac{3}{4}}}[/mm] du
>
> --- r= [mm]\frac{2u}{\sqrt{3}}[/mm]
> --- [mm]\frac{dr}{du}[/mm] = [mm]\frac{2}{\sqrt{3}}[/mm]
>
> =
> [mm]\int{\frac{1}{\sqrt{(\frac{2u}{\sqrt{3}})^2*\frac{3}{4}+\frac{3}{4}}}}[/mm]
> du
> = [mm]\int{\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}*(r^2+1)}}} \frac{\sqrt{3}}{2}[/mm]
> dr
>
> = [mm]\int{\frac{1}{r^2+1}}[/mm] dr
>
> soweit erstmal richtig?.
Dir ist die Wurzel abhanden gekommen.
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gut....
[..]
= [mm] \int{\frac{1}{\sqrt{r^2+1}}}
[/mm]
= arcsinh r = arcsinh [mm] \frac{2u}{\sqrt{3}} [/mm] = arcsinh [mm] \frac{2x}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}
[/mm]
soweit zur ersten. kann mir das jemand bestätigen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:26 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
Sieht gut aus.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:55 Mo 19.05.2008 | | Autor: | katerkarlo |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie [mm] \int{\frac{1}{2+sin x}} [/mm] |
Gut, habe inzwischen gelesen, dass man bei solchen Aufgaben meist mit der Substitution tan(x/2) weiter kommt.
u = tan [mm] \frac{x}{2}
[/mm]
[mm] \frac{du}{dx} [/mm] = [mm] \frac{1}{2 cos^2 \frac{x}{2}}
[/mm]
dx = 2 [mm] cos^2 \frac{x}{2} [/mm] du = 1+cos x du
[mm] \int{\frac{1}{2+sin x}} [/mm] =
[mm] \int{\frac{1}{2+(\frac{sin x}{1+cos x} * (1+cos x))}} [/mm] =
[mm] \int{\frac{1}{2+(u * (1+cos x))}} [/mm] * (1+cos x) du
Ich werde das x aber nicht los.... jemand einen kleinen Tipp zur Substitution?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:12 Mo 19.05.2008 | | Autor: | katerkarlo |
Für diese Frage mache ich der Übersichtlichkeit halber einen eigenen Thread auf.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 Mo 19.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Der Trick ist, die Funktion so zu substituieren, dass ich am Ende eine Funkton bekomme, deren ![[]](/images/popup.gif) Stammfunktion bekannt ist
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:19 Mo 19.05.2008 | | Autor: | katerkarlo |
Danke für die Tabelle, die hat mir geholfen.
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