Stammfunktionen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:14 Fr 06.06.2008 | | Autor: | summer00 |
| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden Integrale:
[mm] \integral_{-1}^{1}{\bruch{3}{2x^{2}+2} dx} [/mm] |
Hallo!
Könnte uns bitte jemand erklären, wie man da jetzt vorgeht? Wie bildet man bei sowas die Stammfunktion? Was da heraus kommt, haben wir durch ein Prog herausbekommen, aber wir verstehen nicht, wie man das macht.
Müssen wir ausserdem noch etwas beachten?Z.b. die eingeschlossenen Flächen einmal positiv oder negativ sind?
Vielen Dank im Voraus
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Fr 06.06.2008 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie die folgenden Integrale:
> [mm]\integral_{-1}^{1}{\bruch{3}{2x^{2}+2} dx}[/mm]
> Hallo!
> Könnte uns bitte jemand erklären, wie man da jetzt
> vorgeht? Wie bildet man bei sowas die Stammfunktion? Was da
> heraus kommt, haben wir durch ein Prog herausbekommen, aber
> wir verstehen nicht, wie man das macht.
> Müssen wir ausserdem noch etwas beachten?Z.b. die
> eingeschlossenen Flächen einmal positiv oder negativ sind?
Das sind sie nicht. Im Nenner lässt sich noch der Faktor 2 ausklammern, damit gilt
[mm] \integral_{-1}^{1}{\bruch{3}{2x^{2}+2} dx}=\bruch{3}{2}]\integral_{-1}^{1}{\bruch{1}{x^{2}+1} dx}
[/mm]
Wegen der Symmetrie zur y-Achse kann man daraus noch
[mm] \integral_{-1}^{1}{\bruch{1}{x^{2}+1} dx}=2*\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^{2}+1} dx} [/mm] machen.
Schau mal in Formelsammlungen o.ä. nach, ob du dafür eine passende Stammfunktion findest...
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Fr 06.06.2008 | | Autor: | summer00 |
Danke erst einmal für die schnelle Antwort
Aber könntest du uns erklären, wie man ganz allgemein von Brüchen die Stammfunktion bilden kann? ich denke mal, nicht alle sind "bekannte" Brüche, wie in diesem Beispiel.
Wie kommt man ausserdem darauf, dass eine Symmetrie zur Y Achse besteht? Sollten wir von den Funktionen lieber immer eine Skizze machen oder wie sollte ich da drauf kommen?
|
|
|
| |
|
Dazu gibt es die Holzhammer-Methode:
Partialbruchzerlegung!
Damit lässt sich ein Bruch durch die Nullstellen seines Nenners in Brüche aufteilen, von denen die Stammfunktionen bekannt sind.
MfG Sunny
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Fr 06.06.2008 | | Autor: | summer00 |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{\pi}^{3}{\bruch{1}{\wurzel{x}} dx} [/mm] |
Die Aufleitung hiervon ist doch [mm] F=ln\wurzel{x}
[/mm]
Der Integral lässt sich bestimmen mit [mm] F(3)-F({\pi}). [/mm] Aber da kommt ja was komisches heraus oder gibt es da einen Trick, wie sich das vereinfachen lässt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:35 Fr 06.06.2008 | | Autor: | abakus |
> [mm]\integral_{\pi}^{3}{\bruch{1}{\wurzel{x}} dx}[/mm]
> Die
> Aufleitung hiervon ist doch [mm]F=ln \wurzel{x}[/mm]
Sicher???
Leite mal F(x) mit der Kettenregel ab.
Wenn du dann gemerkt hast, dass nicht das Gewünschte entsteht, solltest du mal daran denken, dass [mm] \bruch{1}{\wurzel{x}}=x^{-0,5} [/mm] gilt. Und wie lautet davon die Stammfunktion?
>
> Der Integral lässt sich bestimmen mit [mm]F(3)-F({\pi}).[/mm] Aber
> da kommt ja was komisches heraus oder gibt es da einen
> Trick, wie sich das vereinfachen lässt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Fr 06.06.2008 | | Autor: | summer00 |
ohja. Danke für den Hinweis. Die Stammfunktion ist [mm] 2x^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Dann bekommen wir [mm] 2\wurzel{3}-2{\wurzel{\pi}}. [/mm] Lässt sich das weiter verkürzen oder sind wir jetzt fertig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:30 Fr 06.06.2008 | | Autor: | summer00 |
Danke euch allen für die schnellen Antworten
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
