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| Aufgabe | Stammfunktionen bestimmen
a) [mm] \bruch{1}{(2-x)^2}
[/mm]
b) [mm] \bruch{-2}{(1-x)^3}
[/mm]
c) [mm] \bruch{1}{\wurzel{x}}
[/mm]
d) [mm] \bruch{1}{\wurzel{3x+2}} [/mm] |
ich brauche die Stammfunktionen, um das Intergral später zu berechnen. ich weiß nur nicht, wie ich bei den Brüchen jeweils aufleiten soll.
bei aufgabe a) zum beispiel könnte ich die stammfunktion auf [mm] (2-x)^2 [/mm] bilden aber nicht [mm] \bruch{1}{(2-x)^2}
[/mm]
es wäre schön, wenn mir jemand bei aufgabe a) helfen würde, bzw zeigen würde, wie es geht.
danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:30 Di 08.04.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
ein (hoffentlich) nützlicher Tipp:
[mm] \bruch{1}{x^2}=x^{-2}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\wurzel{x}}=\bruch{1}{x^{\bruch{1}{2}}}=x^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
Das müsste dir weiterhelfen!?
MfG barsch
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wäre die stammfunktion auf a) dann:
[mm] \bruch{1}{3}*(2-x)^{-3}*(-1)
[/mm]
??
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Hallo Shabi_nami,
> wäre die stammfunktion auf a) dann:
>
> [mm]\bruch{1}{3}*(2-x)^{-3}*(-1)[/mm]
Das kannst du dir leicht selbst beantworten, indem du's wieder ableitest, da müsst dann ja wieder [mm] $(2-x)^{-2}$ [/mm] bzw. [mm] $\frac{1}{(2-x)^2}$ [/mm] herauskommen.
Kennst du die "Potenzregel" für's Integrieren?
[mm] $\int{x^n \ dx}=\frac{1}{n+1}x^{n+1}$ [/mm] für alle [mm] $n\neq [/mm] -1$
Die kannst du bei linearen Termen in der Klammer benutzen, musst nur mit den Vorzeichen aufpassen...
>
> ??
LG
schachuzipus
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aus der antowrt werde ich nicht schlau, um ehrlich zu sein
außerdem hatte ich einen kleinen tipfehler
ich meinte:
[mm] \bruch{1}{3}*(2-x)^{-3}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 Di 08.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du die Stammfkt ableitest muss doch wieder die Funktion rauskommen.
Das war der Rat!
> [mm]\bruch{1}{3}*(2-x)^{-3}[/mm]
>
die Ableitung davon ist -(2-x)^-4 also nicht deine ursprüngliche fkt.
[mm] (2-x)^a [/mm] abgeleitet: [mm] a*(2-x)^{a-1}**(-1)
[/mm]
deshalb umgekehrt
Stammfunktion von [mm] (2-x)^a [/mm] ist [mm] 1/(a+1)*(2-x)^{a+1}*(-1) [/mm] ausser für a=1
so jetzt kannst du doch für a=-2 einsetzen, dann ist a+1=-2+1=-1
(du hast -2+1=-3 gerechnet!)
jetzt klarer ?
Gruss leduart
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soo......
ich hab es nochmal probiert.
für a) (2-x)^(-1)
b) -(1-x)^(-2)
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bei c) habe ich folgendes heraus:
[mm] 2\wurzel{x}
[/mm]
bei d) habe ich irgendwie Probleme:
ich bekomme folgendes heraus, was eigentlich gar nicht stimmen kann:
[mm] 2*(3x+2)^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:55 Di 08.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
c) stimmt.
Bei d) hast du sicher [mm] (...)^{\bruch{1}{2}} [/mm] statt [mm] (...)^{-\bruch{1}{2}} [/mm] gerechnet :)
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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ah....ich sehs
´wenn ich mit -0,5 rechne bekomm ich folgendes:
-6(3x+2)^(0,5)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 Mi 09.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Stimmt leider nicht ganz! Statt auf -6 solltest du auf [mm] \bruch{2}{3} [/mm] kommen!
Teufel
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aber wie?
wenn ich die gleichung erstmal umforme, dann komme ich auf:
[mm] 1*(3x+2)^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
und dann wenn ich aufleite komme ich auf
[mm] -2*(3x+2)^{\bruch{1}{2}}*3
[/mm]
irgendwie ist das komisch, ich glaube, dass ich das prinzip noch nichtmal richtig verstanden habe...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:15 Mi 09.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Glaub, auch, aber dafür sind hier ja viele Leute ;)
1.
Erst musst du den Exponent um 1 erhöhen und dann erst durch ihn Teilen.
Also statt [mm] \bruch{1}{-\bruch{1}{2}} [/mm] zu rechnen musst du erst [mm] -\bruch{1}{2}+1 [/mm] rechnen und danach teilen! Also [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{2}}=2. [/mm] Läuft genau umgedreht wie beim ableiten, beim ableiten war es:
1. Mit Exponent multiplizieren
2. Exponent um 1 senken
Und beim integrieren:
1. Exponent um 1 erhöhen
2. Durch Exponent teilen
Vielleicht kannst du dir das so besser merken ;) Zumindest ich kann es dadurch.
2.
Eine allgemeine Formel für diese linearen Verkettungen wäre:
[mm] \integral_{}^{}{f(mx+n) dx}=\bruch{1}{m}F(mx+n)+C.
[/mm]
Du hast mit dem Faktor vor dem x multipliziert, du musst aber hier mit dem Kehrwert multiplizieren.
Von der Formel kannst du dich ganz einfach überzeugen, indem du [mm] F(x)=\bruch{1}{m}F(mx+n) [/mm] einfach wieder ableitest!
[mm] F'(x)=\bruch{1}{m}f(mx+n)*\underbrace{m}_{innere Ableitung!}
[/mm]
Wie du siehst, hebt sich das dann wieder schön so weg und du hast deine Ausgangsfunktion da zu stehen.
Teufel
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]"){kind=small}
Gruß
