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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 Mo 13.12.2004 | | Autor: | neo2k |
Hi,
Habe folgendes Problem:
Ich soll die Stammfunktion zu cos²x bestimmen. Meine Bemühungen scheitern jedoch, nachdem ich zwei Mal partiell integriert habe:
[mm] \integral_{}^{} [/mm] {cos²x dx} = -sinx*cosx - [mm] \integral_{}^{} [/mm] {-sinx*-sinx dx}
nun muss ich erneut partiell integrieren
[mm] \integral_{}^{} [/mm] {cos²x dx} = -sinx*cosx - (-cosx)*sinx - [mm] \integral_{}^{} [/mm] {(-cosx)*cosx dx}
nun wollte ich das letzte Integral rüberbringen, jedoch geht dies nicht. Ich vermute, dass ich irgendwo einen Rechenfehler gemacht habe.
Mit freundlichen Grüßen
Ach ja, bevor ich es vergesse :
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 Mo 13.12.2004 | | Autor: | Paulus |
Lieber neo2k
Dein Ansatz ist goldrichtig, ausser: du darfst nicht zweimal partiell integrieren, sondern viel eher musst du die Beziehung
[mm] $\sin^2+\cos^2=1$
[/mm]
ausnützen.
Zu beachten gilt ferner noch, dass die Stammfunktion von [mm] $\cos$ [/mm] nicht [mm] $-\sin$ [/mm] ist, sonder [mm] $+\sin$.
[/mm]
Dann ergibt sich folgende Rechnung:
[mm] $\int{cos^2(x)\,dx}=$
[/mm]
[mm] $\sin(x)*\cos(x)-\int{\sin(x)*(-\sin^2(x))\,dx}=$
[/mm]
EDIT: Die obere Zeile ist natürlich Quatsch! so sollte sie heissen:
[mm] $\sin(x)*\cos(x)-\int{\sin(x)*(-\sin(x))\,dx}=$
[/mm]
[mm] $\sin(x)*\cos(x)+\int{\sin^2(x)\,dx}=$
[/mm]
[mm] $\sin(x)*\cos(x)+\int{1-\cos^2(x)\,dx}=$
[/mm]
[mm] $\sin(x)*\cos(x)+x-\int{\cos^2(x)\,dx}$
[/mm]
Jetzt hast du also:
[mm] $\int{cos^2(x)\,dx}=\sin(x)*\cos(x)+x-\int{\cos^2(x)\,dx}$
[/mm]
Hier kannst du das Integral wie eine Unbekannte in einer hundskommunen Gleichung betrachten, nach der aufgelöstwerden kann:
[mm] $2*\int{cos^2(x)\,dx}=\sin(x)*\cos(x)+x$
[/mm]
[mm] $\int{cos^2(x)\,dx}=\bruch{1}{2}(\sin(x)*\cos(x)+x) [/mm] + C$
Alles klar?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:39 Mo 13.12.2004 | | Autor: | neo2k |
> [mm]\int{cos^2(x)\,dx}=[/mm]
> [mm]\sin(x)*\cos(x)-\int{\sin(x)*(-\sin^2(x))\,dx}=[/mm]
das (-1) wird herausgezogen und negiert das Minuszeichen zu +,
aber [mm] \sin^2(x) [/mm] * [mm] \sin(x) [/mm] sind nicht [mm] \sind^2(x)
[/mm]
--> Ich denke das dies ein einfacher "Tippfehler" ist oder?
Natürlich könnte ich jetzt eine sehr grundlegende mathematische Regel vergessen haben, aber ich gehe einfach davon aus, dass ich es nicht vergessen habe :)
Alles weitere kann ich nachvollziehen und stimmt :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:59 Di 14.12.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo noe2k
ach ja, das war natürlich nur ein Tipfehler. Ich habe ihn jetzt korrigiert. Sorry!
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Do 08.01.2009 | | Autor: | Verdeg |
$ [mm] \int{cos^2(x)\,dx}=\sin(x)\cdot{}\cos(x)+x-\int{\cos^2(x)\,dx} [/mm] $
Wieso kann man jetzt einfach diese Beziehung aufstellen?
Also ich kann die Rechnung gut nachverfolgen bis zu dem Einfügen von $ [mm] \int{cos^2(x)\,dx}= [/mm] .....
Kann mir das Jemand erläutern??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:54 Do 08.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Verdeg!
Die Gleichheit (der sogenannte "trigonometrische Pythagoras") mit [mm] $\sin^2(x)+\cos^2(x) [/mm] \ = \ 1$ ist Dir klar?
Daraus folgt durch Umstellen: [mm] $$\sin^2(x) [/mm] \ = \ [mm] 1-\cos^2(x)$$
[/mm]
Dies setzen wir nunmehr in das neue Integral, wleches durch die partielle Integration entstanden ist (ich schreibe nunmehr dieses Integral und lasse den Term zuvor weg):
[mm] $$\integral{\sin^2(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{1-\cos^2(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{1 \ dx}+\integral{-\cos^2(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{1 \ dx}-\integral{\cos^2(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] x-\integral{\cos^2(x) \ dx}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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