Stammfunktion von e-Funktionen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ableitung der Funktionen:
[mm] 1.)f(x)=3x*e^{-x+1} [/mm] ist [mm] f'(x)=3e^{-x+1}*(1-x)
[/mm]
[mm] 2.)f(x)=x*e^{-2x}+2 [/mm] ist [mm] f'(x)=e^{-2x}*(1-2x)
[/mm]
Nun will ich von den Ableitungen die Stammfunktion bilden, sodass ich wieder auf f(x) komme. |
Hi, kann mir einer eine detaillierte Lösung angeben?
Weil ich sitze hier schon seit 2Tagen daran, probiere hin und her, bekomme aber nichts hin! Habe auch schon in einem anderen Forum gefragt, wo mir Tipps gegeben wurden, aber nichts nützen, komme dennoch nicht zum Ziel. Und da ich Ferien habe, kann ich auch nicht meinen Lehrer fragen. Ist wichtig, da Abi Vorbereitung, in der Schule hatten wir das nicht.
Ich kann ja wieder wiederholen, was ich schon 100mal falsch gemacht habe:
[mm] \integral_{}^{}{u'*v dx} [/mm] = u *v [mm] -\integral_{}^{}{u*v'}
[/mm]
[mm] u=e^{-2x} [/mm]
$ v=(1-2x) $
v'= -2
= [mm] e^{-2x} [/mm] *(1-2x) [mm] -\integral_{}^{}{e^{-2x}*(-2)}
[/mm]
[mm] =[e^{-2x} [/mm] *(1-2x)] [mm] -[2e^{-2x}]
[/mm]
=bahnhof ist ja sowieso total falsch
was mich noch wundert ist,warum es manchmal plötzlich Vorzeichenwechsel gibt?
Vielen Dank schon mal!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?postid=468314#post468314 und abwärts
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:24 Di 03.04.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
$ [mm] 1.)f(x)=3x\cdot{}e^{-x+1} [/mm] $
Stammfunktion:
[mm] 1.)\integral{3x\cdot{}e^{-x+1} dx}=-3x\cdot{}e^{-x+1}-(-\integral{3\cdot{}e^{-x+1}) dx}=-3x\cdot{}e^{-x+1}-(-(-3\cdot{}e^{-x+1}))=-3x\cdot{}e^{-x+1}-3\cdot{}e^{-x+1}
[/mm]
In der Tat sind Vorzeichenwechsel hier immer blöd. Damit du aber alles im Auge behälst, immer Klammer setzen!!!
$ [mm] 2.)f(x)=x\cdot{}e^{-2x}+2 [/mm] $
[mm] 2.)\integral{x\cdot{}e^{-2x}+2 dx}=-x*\bruch{1}{2}e^{-2x}-(-\integral{\bruch{1}{2}e^{-2x} dx})+\integral{2 dx}=-x*\bruch{1}{2}e^{-2x}-\bruch{1}{4}e^{-2x}+2x
[/mm]
MfG
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Och menno ;( du hast mich falsch verstanden und die Stammfunktionen von f(x) berechnet ...
Aber ich hätte gerne gewusst, wie der Rechenweg zur Stammfunktionbildung der Ableitungen aussieht, sodass ich wieder f(x) herausbekomme ;)
Kannst du die Mühe noch einmal aufbringen?
Dankeeeeeee
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Hallo Pitchriddick!
Deine Ansätze sind ja nicht schlecht.
Wir wählen (bei der 2. Aufgabe):
$u \ := \ 1-2x$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $u' \ = \ -2$
$v' \ := \ [mm] e^{-2x}$ $\Rightarrow$ [/mm] $v \ = \ [mm] \bruch{1}{-2}*e^{-2x} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{2}*e^{-2x}$
[/mm]
Der Faktor [mm] $\bruch{1}{-2}$ [/mm] entsteht durch die innere Ableitung von [mm] $e^{\red{-2}*x}$ [/mm] . Das solltest Du sehen, wenn Du [mm] $-\bruch{1}{2}*e^{-2x}$ [/mm] wieder ableitest gemäß  Kettenregel.
So, und nun setzen wir dies alles ein in die Formel für die partielle Integration:
$... \ = \ [mm] (1-2x)*\left[-\bruch{1}{2}*e^{-2x}\right]-\integral{(-2)*e^{-2x} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{2}*(1-2x)*e^{-2x}+2*\integral{e^{-2x} \ dx} [/mm] \ = \ ...$
Und das Integral [mm] $\integral{e^{-2x} \ dx}$ [/mm] bestimmst Du wie oben beim Schritt von $v'_$ zu $v_$ .
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 Di 03.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ableitung der Funktionen:
> [mm]1.)f(x)=3x*e^{-x+1}[/mm] ist [mm]f'(x)=3e^{-x+1}*(1-x)[/mm]
> [mm]2.)f(x)=x*e^{-2x}+2[/mm] ist [mm]f'(x)=e^{-2x}*(1-2x)[/mm]
>
> Nun will ich von den Ableitungen die Stammfunktion bilden,
> sodass ich wieder auf f(x) komme.
> Hi, kann mir einer eine detaillierte Lösung angeben?
> Weil ich sitze hier schon seit 2Tagen daran, probiere hin
> und her, bekomme aber nichts hin! Habe auch schon in einem
> anderen Forum gefragt, wo mir Tipps gegeben wurden, aber
> nichts nützen, komme dennoch nicht zum Ziel. Und da ich
> Ferien habe, kann ich auch nicht meinen Lehrer fragen. Ist
> wichtig, da Abi Vorbereitung, in der Schule hatten wir das
> nicht.
>
> Ich kann ja wieder wiederholen, was ich schon 100mal falsch
> gemacht habe:
>
> [mm]\integral_{}^{}{u'*v dx}[/mm] = u *v [mm]-\integral_{}^{}{u*v'}[/mm]
> [mm]u=e^{-2x}[/mm]
> [mm]v=(1-2x)[/mm]
hier liegt dein Fehler!
[mm]u'=e^{-2x}[/mm]
[mm]u=-1/2*e^{-2x}[/mm]
> v'= -2
>
> = [mm]e^{-2x}[/mm] *(1-2x) [mm]-\integral_{}^{}{e^{-2x}*(-2)}[/mm]
> [mm]=[e^{-2x}[/mm] *(1-2x)] [mm]-[2e^{-2x}][/mm]
>
> =bahnhof ist ja sowieso total falsch
Nicht total, nur ein Faktor 1/2 und ein Vorzeichen!
>
> was mich noch wundert ist,warum es manchmal plötzlich
> Vorzeichenwechsel gibt?
Wenn halt beim Differenzieren oder integrieren ein Minus (meist aus dem Exponenten) dazukommt!
Gruss leduart
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hmm, bekomme es trotzdem nicht hin:
= [mm] [-\bruch{1}{2}*e^{-2x}*(1-2x)] [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{-\bruch{1}{2}*e^{-2x}*(-2)}
[/mm]
= [mm] [-\bruch{1}{2}*e^{-2x}*(1-2x)] [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{e^{-2x}}
[/mm]
= [mm] -\bruch{1}{2}*e^{-2x}+e^{-2x}] [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{e^{-2x}}
[/mm]
hmm , kann mir einer erklären,was ich genau falsch mache?
ich will es endlich hinbekommen..
danke
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hi,danke für deine mühe...
nur kann ich leider deinen lösungsweg nicht so sehr nachvollziehen, bzw. was du für zwischenschritte gemacht hast.
und wieso hast du ein C hinten drangesetzt. in der lösung ist es 2
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Hallo
Warum er das drangesetzt hat, kann ich Ihnen leicht erklären.
Wenn man ableitet, fällt die 2 weg, da es eine Konstante ist.
Wenn man dann aber das unbestimmte Integral nildet steht eben nicht 2 am Schluss, sondern eine beliebige Konstante C, die eben bei dieser Aufgabe 2 wäre.
Gruß
R. Kleiner
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Hallo
Ich würde bei dieser Aufgabe zuerst Substitueiren und dann partiell ableiten
Bei der Substitution wäre s=-2x und ds= -2dx
[mm] -1/2*(e^s*(s+1)ds)
[/mm]
nun integrieren Sie partiell
u=s+1
[mm] dv=e^s [/mm] ds
du=1 ds
[mm] v=e^s
[/mm]
[mm] -e^s*s/2-e^s/2+1/2*(e^s)ds
[/mm]
nun das integrall bilden, vereinfachen, und zurücksubstitueiren:
s=-2x
MFG
R. Kleiner
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