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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:25 Di 03.02.2009 | | Autor: | Friik |
| Aufgabe | Durch Zurückführen auf Grundintegrale berechne man (ohne Integraltafel):
[mm] \integral{\bruch{1}{\wurzel{3-x^{2}}} dx} [/mm] |
Bei der Aufgabe waren noch zwei weitere Integrale dabei, die aber kein Problem waren. Das Teil oben bereitet mir aber immer noch Kopfzerbrechen oO.
Mein Gedanke war das Ganze mit Substitution zu lösen:
[mm] t=\wurzel{3-x^{2}}
[/mm]
Damit wäre dann:
[mm] dx=\bruch{\wurzel{3-x^{2}}}{-x}dt
[/mm]
Also:
[mm] dx=\bruch{t}{-x}dt
[/mm]
Das Integral sähe nach der Substitution so aus:
[mm] \integral{\bruch{1}{t} \bruch{t}{-x} dt}
[/mm]
Wobei sich das t jeweils rauskürzt, aber dummerweise bleibt da noch ein x im Nenner stehen:
[mm] -\integral{\bruch{1}{x} dt}
[/mm]
An dieser Stelle bin ich in einer Sackgasse, weil wenn ich das x jetzt versuche durch einen Term mit t zu ersetzen (indem ich meinen Substitutionsschritt umforme), lande ich wieder exakt beim "Anfangsintegral".
Wenn ich dieses Integral irgendwie auf ein Grundintegral zurückführen möchte, komme ich ja gar nicht an einer Substitution vorbei, oder doch? Habe ich denn überhaupt den richtigen Weg gewählt? Bitte dringend um Hilfe 8[...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Friik,
> Durch Zurückführen auf Grundintegrale berechne man (ohne
> Integraltafel):
> [mm]\integral{\bruch{1}{\wurzel{3-x^{2}}} dx}[/mm]
> Bei der Aufgabe
> waren noch zwei weitere Integrale dabei, die aber kein
> Problem waren. Das Teil oben bereitet mir aber immer noch
> Kopfzerbrechen oO.
>
> Mein Gedanke war das Ganze mit Substitution zu lösen: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gute Idee!
> [mm]t=\wurzel{3-x^{2}}[/mm]
> Damit wäre dann:
> [mm]dx=\bruch{\wurzel{3-x^{2}}}{-x}dt[/mm]
> Also:
> [mm]dx=\bruch{t}{-x}dt[/mm]
> Das Integral sähe nach der Substitution so aus:
> [mm]\integral{\bruch{1}{t} \bruch{t}{-x} dt}[/mm]
> Wobei sich das t
> jeweils rauskürzt, aber dummerweise bleibt da noch ein x im
> Nenner stehen:
> [mm]-\integral{\bruch{1}{x} dt}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> An dieser Stelle bin ich in
> einer Sackgasse, weil wenn ich das x jetzt versuche durch
> einen Term mit t zu ersetzen (indem ich meinen
> Substitutionsschritt umforme), lande ich wieder exakt beim
> "Anfangsintegral".
> Wenn ich dieses Integral irgendwie auf ein Grundintegral
> zurückführen möchte, komme ich ja gar nicht an einer
> Substitution vorbei, oder doch? Habe ich denn überhaupt den
> richtigen Weg gewählt? Bitte dringend um Hilfe 8[...
Jo, dein Substitutionsansatz ist nicht so sehr erfolgversprechend, zwei Variable im Integral, das macht nur Kummer 
Forme zunächst ein klein wenig um:
$\int{\frac{1}{\sqrt{3-x^2}} \ dx}=\int{\frac{1}{\sqrt{3\cdot{}\left(1-\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2\right)} \ dx}=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot{}\int{\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2}} \ dx}$
Nun versuche die Substitution $\frac{x}{\sqrt{3}}:=\sin(t)$, also $x=\sqrt{3}\sin(t)$
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:30 Mi 04.02.2009 | | Autor: | Friik |
Aah, die Lösung war ja viel einfacher als gedacht - darauf, dass da die Ableitung vom Arcus-Sinus drin steckt hätte ich eigentlich kommen müssen. Naja, die hat mich zwar viel Zeit gekostet, aber beim nächsten mal werde ich sicher auch an die trigonometrischen Funktionen denken wenn ich versuche eine Funktion weich klopfen. Tausend Dank ;).
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