Stammfunktion mit sin(x) < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:14 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Janina22 |
Guten Tag,
ich bin dabei Stammfunktionen auszurechen, das klappt bisher ganz gut.
Aber eine mit sin lässt mich stehen...Wie rechnet man solche?
[mm] f(x)=xsin(\bruch{x}{2})
[/mm]
Ich hoffe mir kann jemand zeigen wie man das rechnen kann!
DankeschöN!!!
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Hallo Janina!
Zunächst auch Dir hier (falls noch nicht geschehen): ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]f(x) \ = \ x*\sin\left(\bruch{x}{2}\right)[/mm]
Das Stichwort für diese Funktion heißt partielle Integration (auch Produktintegration genannt):
[mm] [center]$\integral_{}^{} [/mm] {u'(x) * v(x) \ dx} \ = \ u(x)*v(x) - [mm] \integral_{}^{} [/mm] {u(x) * v'(x) \ dx}$[/center]
In unserem Fall solltest Du wählen:
$u'(x) \ = \ [mm] \sin\left(\bruch{x}{2}\right)$ $\Rightarrow$ [/mm] $u(x) \ = \ ...$
$v(x) \ = \ x$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $v'(x) \ = \ 1$
Schaffst Du es nun alleine weiter? Sonst einfach nochmal fragen!
Poste doch mal Dein Ergebnis, wenn Du möchtest.
Grüße vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Janina22 |
Vielen Dank dir!
Ich bin bisher nur bisschen weiter gekommen und hoffe dass es wenigstens richtig ist. Also das hast du ja geschrieben:
[mm] [center]$\integral_{}^{} [/mm] {u'(x) * v(x) \ dx} \ = \ u(x)*v(x) - [mm] \integral_{}^{} [/mm] {u(x) * v'(x) \ dx}$[/center]
$u'(x) \ = \ [mm] \sin\left(\bruch{x}{2}\right)$ $\Rightarrow$ [/mm] $u(x) \ = [mm] -2cos(\bruch{x}{2}) [/mm] \ $
$v(x) \ = \ x$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $v'(x) \ = \ 1$
Jetzt setze ich das in deine obrige Gleichung ein:
[mm] \integral_{}^{} {(sin(\bruch{x}{2})x) dx} [/mm] = [mm] -2cos(\bruch{x}{2})x [/mm] - [mm] \integral_{}^{} {-2cos(\bruch{x}{2}) dx}
[/mm]
Wie kann man nun diese Integrale ausrechnen ?
Danke für die Mühe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Janina,
du musst ja nur noch ein Integral ausrechnen, nämlich [mm] $\int \left(-2\cdot \cos\left(\frac{x}{2}\right)\right)dx=-2\cdot \int \cos\left(\frac{x}{2}\right)dx$. [/mm] Dafür musst du doch nur eine (Stamm-)Funktion finden, die als Ableitung [mm] $\cos\left(\frac{x}{2}\right)$ [/mm] hat. Da sollte dir aber schnell etwas einfallen.
(Natürlich kannst du auch [mm] $u=\frac{x}{2}$ [/mm] substituieren, aber das ist mit Kanonen auf Spatzen schiessen.)
Gruß Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Janina22 |
Hallo Max,
dankeschön auch dir.
Die Stammfunktion von $ [mm] \cos\left(\frac{x}{2}\right) [/mm] $ ist [mm] 2*sin(\bruch{x}{2}).
[/mm]
Wenn ich anfange zu rechnen bekomme ich
$ [mm] \int \left(-2\cdot \cos\left(\frac{x}{2}\right)\right)dx=-2\cdot \int \cos\left(\frac{x}{2}\right)dx [/mm] $
[mm] \integral_{}^{} [/mm] {-2*cos( [mm] \bruch{x}{2}) [/mm] dx} = -2*[2*sin( [mm] \bruch{x}{2})]
[/mm]
[-4*sin( [mm] \bruch{x}{2})] [/mm] = -4*sin( [mm] \bruch{x}{2})]
[/mm]
sin( [mm] \bruch{x}{2})] [/mm] = sin( [mm] \bruch{x}{2})]
[/mm]
Ist das bis dahin richtig? Was muss ich weiter machen??
EDIT:
Ich glaube ich habe richtigen Schwachsinn zusammengerechnet. So sieht das auch aus.
Wie bist du auf $ [mm] \int \left(-2\cdot \cos\left(\frac{x}{2}\right)\right)dx=-2\cdot \int \cos\left(\frac{x}{2}\right)dx [/mm] $
gekommen?
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
Diese Gleichung ist ja offensichtlich richtig! Aber was will der Künstler mir hiermit sagen? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
.
Faktorregel![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
Konstante Faktoren (hier: [mm] $\text{-2}$) [/mm] darf ich vor das Integral ziehen.
