Stammfunktion herausfinden < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:42 Sa 16.01.2010 | | Autor: | Mampf |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion:
[mm]f(x)= x*e^{-0,5x}[/mm]
a) Weisen sie nach das [mm]F(x)= e^{-0,5x}*(-2*x-4)[/mm] eine Stammfunktion von [mm]f(x)[/mm] ist
b) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A unter dem Graphen von f über dem Intervall I=[0:7] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi!
Teilaufgabe a)
Ich habe [mm]F(x)= e^{-0,5x}*(-2*x-4)[/mm] ganz einfach abgeleitet:
[mm] \begin{matrix}
F'(x)&=& -0,5e^{-0,5x}*(-2x-4)-2*e^{-0,5x} \\
\ & =& x*e^{-0,5x}+2e^{-0,5x}-2*e^{-0,5x} \\
\ & =& x*e{-0,5x} = f(x)\\
\end{matrix}
[/mm]
damit habe ich nachgewiesen, dass F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist.
Soweit so gut, nun kann ichja, wenn ich schlau bin diese Stammfunktion gleich für Teilaufgabe c) verwenden (zur Flächenberechnung, was ich auch tat:
A= 3,45 FE
aus Übungszwecken wollte ich nun zusätzlich die Stammfunktion herausfinden ohne auf a) zurückgreifen zu müssen.
Nur komme ich hier nicht weiter, auch meine vorhergende Ableitung aus a) hilft mir nicht auf dei Sprünge:
Gegeben: [mm]f(x)= x*e^{-0,5x}[/mm]
Gesucht: [mm]F(x)[/mm]
[mm]F(x)=-2x*e^{-0,5x} ....[/mm] ich habe [mm]e^-0,5x[/mm] hochgeleitet und mit [mm] x[/mm] multipliziert, aber nun komme ich nicht mehr weiter...mir fehlt der Ausdruck
[mm]-4*e^{-0,5x}[/mm],
den ich, wenn ich [mm] x[/mm] hochleite und mit [mm]e^{-0,5x}[/mm] multipliziere (also das was ich vorher gemacht habe nur vertauscht) nicht bekomme stattdessen:
[mm]0,5x^{2}*e^{-0,5x}[/mm]
was mache ich falsch? Bitte um Hilfe/Anregungen/Ansätze!
MfG
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Hallo Mampf,
> Gegeben ist die Funktion:
>
> [mm]f(x)= x*e^{-0,5x}[/mm]
>
> a) Weisen sie nach das [mm]F(x)= e^{-0,5x}*(-2*x-4)[/mm] eine
> Stammfunktion von [mm]f(x)[/mm] ist
>
> b) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A unter dem Graphen
> von f über dem Intervall I=[0:7]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hi!
>
> Teilaufgabe a)
>
> Ich habe [mm]F(x)= e^-0,5x*(-2*x-4)[/mm] ganz einfach abgeleitet:
>
> [mm]\begin{matrix}
F'(x)&=& -0,5e^{-0,5x}*(-2x-4)-2*e^{-0,5x} \\
\ & =& x*e^{-0,5x}+2e^{-0,5x}-2*e^{-0,5x} \\
\ & =& x*e{-0,5x} = f(x)\\
\end{matrix}[/mm]
>
> damit habe ich nachgewiesen, dass F(x) eine Stammfunktion
> von f(x) ist. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Soweit so gut, nun kann ichja, wenn ich schlau bin diese
> Stammfunktion gleich für Teilaufgabe c) verwenden (zur
> Flächenberechnung, was ich auch tat:
>
> A= 3,45 FE
grob gerundet, ja!
>
> aus Übungszwecken wollte ich nun zusätzlich die
> Stammfunktion herausfinden ohne auf a) zurückgreifen zu
> müssen.
>
> Nur komme ich hier nicht weiter, auch meine vorhergende
> Ableitung aus a) hilft mir nicht auf dei Sprünge:
>
> Gegeben: [mm]f(x)= x*e^-0,5x[/mm]
>
> Gesucht: [mm]F(x)[/mm]
>
> [mm]F(x)=-2x*e^{-0,5x} ....[/mm] ich habe [mm]e^-0,5x[/mm] hochgeleitet und
> mit [mm]x[/mm] multipliziert, aber nun komme ich nicht mehr
> weiter...mir fehlt der Ausdruck
>
> [mm]-4*e^{-0,5x}[/mm],
>
> den ich, wenn ich [mm]x[/mm] hochleite und mit [mm]e^-0,5x[/mm]
> multipliziere (also das was ich vorher gemacht habe nur
> vertauscht) nicht bekomme stattdessen:
>
> [mm]0,5x^{2}*e^-0,5x[/mm]
>
> was mache ich falsch? Bitte um Hilfe/Anregungen/Ansätze!
Ok, hier ne Anregung, berechne [mm] $\int{x\cdot{}e^{-0,5x} \ dx}$ [/mm] mit partieller Integration!
>
> MfG
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Sa 16.01.2010 | | Autor: | Mampf |
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> Ok, hier ne Anregung, berechne [mm]\int{x\cdot{}e^{-0,5x} \ dx}[/mm]
> mit partieller Integration!
>
Okay, aber habe ich das nicht schon dadurch versucht?
Ich bin eher verwirrt was für eine Regel der Integralrechnung ich kombinieren muss, die Faktorregel und die lineare Substitutionsregel kämen in Betracht, aber die Faktorregel gilt ja eigentlich nur bei konstanten Faktoren (x ist keiner), und die lineare Substitutionsregel habe ichja schon angewand um [mm] -2*x*e^{-0,5x} [/mm] zu bekommen?
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Hallo nochmal,
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> >
> > Ok, hier ne Anregung, berechne [mm]\int{x\cdot{}e^{-0,5x} \ dx}[/mm]
> > mit partieller Integration!
> >
>
> Okay, aber habe ich das nicht schon dadurch versucht?
Ja, ok, das hatte ich aus den kargen Worten oben nicht rausgelesen 
Aber bitte sage nicht aufleiten oder hochleiten, das heißt integrieren oder Stammfunktion bestimmen...
>
> Ich bin eher verwirrt was für eine Regel der
> Integralrechnung ich kombinieren muss, die Faktorregel und
> die lineare Substitutionsregel kämen in Betracht, aber die
> Faktorregel gilt ja eigentlich nur bei konstanten Faktoren
> (x ist keiner), und die lineare Substitutionsregel habe
> ichja schon angewand um [mm]-2*x*e^{-0,5x}[/mm] zu bekommen?
Ganz richtig, die Teilintegration von [mm] $e^{-0,5x}$ [/mm] kannst du mit linearer Substitution machen (oder mit ein wenig Übung durch Hinsehen)
Es ist also [mm] $\int{x\cdot{}e^{-0,5x} \ dx}=-2xe^{-0,5x}-\int{-2e^{-0,5x} \ dx}=-2xe^{-0,5x} [/mm] \ + \ [mm] 2\cdot{}\int{e^{-0,5x} \ dx}$
[/mm]
Und das hintere Integral hast du ja schon bei der ersten Teilintegration berechnet...
[mm] $=-2xe^{-0,5x} [/mm] \ + \ [mm] 2\cdot{}\left(-2e^{-0,5x}\right)$
[/mm]
Nun noch [mm] $e^{-0,5x}$ [/mm] ausklammern und du hast es schon ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Sa 16.01.2010 | | Autor: | Mampf |
> Es ist also [mm]\int{x\cdot{}e^{-0,5x} \ dx}=-2xe^{-0,5x}[/mm]
soweit komme ich noch mit (einfache lineare Substitution)
>[mm]-\int{-2e^{-0,5x} \ dx}[/mm]
woher kommt der Ausdruck? Welche Regel wurde angewand?
>[mm] =-2xe^{-0,5x} \ + \ 2\cdot{}\int{e^{-0,5x} \ dx}[/mm]
>
> Und das hintere Integral hast du ja schon bei der ersten
> Teilintegration berechnet...
>
also ist dieser Ausdruck:
[mm]\ 2\cdot{}\int{e^{-0,5x} \ dx}[/mm]
der "lineare Substitutionsteil"? ich dachte den hätten wir schon mit:
[mm]-2xe^{-0,5x}[/mm]
nun bin ich verwirrt :(
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Hallo nochmal,
> > Es ist also [mm]\int{x\cdot{}e^{-0,5x} \ dx}=-2xe^{-0,5x}[/mm]
>
> soweit komme ich noch mit (einfache lineare Substitution)
>
> >[mm]-\int{-2e^{-0,5x} \ dx}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> woher kommt der Ausdruck? Welche Regel wurde angewand?
Nun, die Regel für die partielle Integration ist doch folgende:
$\int{u(x)\cdot{}v'(x) \ dx} \ = \ u(x)\cdot{}v(x) \ - \int{u'(x)\cdot{}v(x) \ dx}$
Hier so: $\int{\underbrace{\red{x}}_{u(x)}\cdot{}\underbrace{\blue{e^{-0,5x}}}_{v'(x)} \ dx} \ = \ \underbrace{\red{x}}_{u(x)}\cdot{}\underbrace{\blue{\left(-2e^{-0,5x}\right)}}_{v(x)} \ - \int{\underbrace{\red{1}}_{u'(x)}\cdot{}{\underbrace{\blue{\left(-2e^{-0,5x}\right)}}_{v(x)} \ dx}$
$=-2xe^{-0,5x} \ + \ 2\cdot{}\int{e^{-0,5x} \ dx}$
>
> >[mm] =-2xe^{-0,5x} \ + \ 2\cdot{}\int{e^{-0,5x} \ dx}[/mm]
> >
> > Und das hintere Integral hast du ja schon bei der ersten
> > Teilintegration berechnet...
> >
>
> also ist dieser Ausdruck:
>
> [mm]\ 2\cdot{}\int{e^{-0,5x} \ dx}[/mm]
>
> der "lineare Substitutionsteil"? ich dachte den hätten wir
> schon mit:
>
> [mm]-2xe^{-0,5x}[/mm]
Das x hier ist aber das von dem [mm] $x\cdot{}....$
[/mm]
Die Teilintegration von [mm] $e^{-0,5x}$ [/mm] liefert mit linearer Substitution $z=z(x):=-0,5x$ dann [mm] $-2e^{-0,5x}$
[/mm]
Das ist der Term $v(x)$, also Stfkt. zu [mm] $v'(x)=e^{-0,5x}$
[/mm]
Daran wird das voranstehende $x \ (=u(x))$ noch multipliziert.
>
> nun bin ich verwirrt :(
Ich hoffe, ich konnte dich entwirren
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:08 Sa 16.01.2010 | | Autor: | Mampf |
Danke, soweit ich das erkennen kannn wird die Regel der partiellen Integration, so wie du sie sehr schön veranschaulicht hast, gar nicht in meinem Mathebuch (Bigalke/Köhler Mathematik Band 1 Analysis Cornelsen) auf der Zusammenfassung auf Seite 181 gar nicht aufgeführt.
Nun leuchtets mir ein, 1000 Dank für die Entwirrung und die Ausdauer auf meine ewige Fragerei =)
MfG
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