Stammfunktion einer e-Funktion < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 Sa 13.01.2007 | | Autor: | King0007 |
| Aufgabe | Berechne die Stammfunktion von g(x)
g(x)=[mm] \bruch{2}{1+e^{1-x}} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hab kein Plan wie man sowas Ingetriert. Kann mir einer helfen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Sa 13.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo King0007,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Erweitere den Bruch mit [mm] $e^x$ [/mm] . Anschließend hast Du im Zähler nahezu die Ableitung des Nenners stehen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Sa 13.01.2007 | | Autor: | King0007 |
hm willst du auf die Substitution hindeuten?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Sa 13.01.2007 | | Autor: | ardik |
Hallo King0007,
> hm willst du auf die Substitution hindeuten?
Gewiss.
Bzw. auf ihren einfachen Spezialfall, das logarithmische integrieren.
Schöne Grüße
ardik
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:07 Sa 13.01.2007 | | Autor: | Kroni |
Nein, er möchte hierrauf auf diesen Satz hinweisen:
Ist der Integrand ein Bruch, dessen Zähler die Ableitung des Nenners ist, dann ist der natürliche Logarithmus des Nenners eine Stammfunktion
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 So 14.01.2007 | | Autor: | King0007 |
Könntet ihr etwas konkreter werden? Also ich denke, dass Kroni und ardik das selbe meinen. Jedoch passt beides nicht zu meiner Aufgabe. Loddar hat davon geredet, dass ich im Zähler nahezu die Ableitung im Nenner habe und nicht, dass das genau die Ableitung wäre.
Mit [mm] e^x [/mm] erweitern hab ich das so verstanden: g(x)=[mm] \bruch{2e^x}{(1+e^{1-x})*e^x} [/mm] Könnt ihr mir erklären wie das weiter gehen soll? Die Substitution haben wir nicht ganz so perfekt im Untericht durch genommen (hat auch mein Mathelehrer gesagt).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 So 14.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo King!
"Nahezu" liegt die Ableitung im Zähler nur vor durch den Faktor $2_$ . Aber das sollte ja kein Problem darstellen.
Im Nenner solltest Du die Klammer ausmultiplizieren.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 So 14.01.2007 | | Autor: | King0007 |
ahhhh vielen Dank
jetzt ist mir alles klar. Also g(x)=[mm] \bruch{2e^x}{(1+e^{1-x})*e^x} = \bruch{2e^x}{(e^x+e^{1})} [/mm]
und z = h(x)= [mm] e^x+e^1
[/mm]
daraus folgt:
[mm] \integral_{a}^{b}{g(x) dx} = \integral_{h(a)}^{h(b)}{\bruch{2}{z} dz}[/mm]
Und dann einfach das integral ausrechnen. Ist das soweit richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 So 14.01.2007 | | Autor: | Kroni |
Ist der Integrand ein Bruch, dessen Zähler die Ableitung des Nenners ist, dann ist der natürliche Logarithmus des Nenners eine Stammfunktion.
So geht der Satz
Zähler: [mm] e^x [/mm] (wenn man mal einfach die zwei nach vorne zieht)
Nenner: [mm] e^x+e
[/mm]
Ableitung des Nenners: [mm] e^x
[/mm]
Damit ist also gegeben, dass der Zähler die Ableitung des Nenners ist.
Also ist eine Stammfunktion der natürliche Logarithmus des Nenners:
[mm] ln(e^x+e)
[/mm]
Jetzt noch die zwei beachten:
[mm] 2*ln(e^x+e)
[/mm]
MfG
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 So 14.01.2007 | | Autor: | ardik |
Hallo King,
> Und dann einfach das integral ausrechnen. Ist das soweit richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ebenso wie natürlich Kroonis Antwort.
Die Anwendung "seines" Satzes vereinfacht die Arbeit, indem es sozusagen die Substitution "überspringt" (so wie z.b. die p-q-Formel die Quadratische Ergänzung überspringt).
Schöne Grüße
ardik
|
|
|
|
