Stammfunktion einer Funktion < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:46 Di 21.04.2009 | | Autor: | dupline |
| Aufgabe | a) Man beweise, dass die Funktion
F: [mm] \IR \to \IR, [/mm]
[mm] F(x)=\bruch{x}{2} \sqrt{1+x^2}+\bruch{1}{2}ln(x+\sqrt{1+x^2}),
[/mm]
eine Stammfunktion der Funktion f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] f(x) = [mm] \wurzel{1+x^2}, [/mm] ist. |
Nun habe ich in der Formelsammlung gefunden, dass dies so ist, aber ich kann es dummerweise nicht beweisen.
Ich habe es schon in beide Richtungen versucht, also F(x) abzuleiten um f(x) zu bekommen und auch f(x) versucht zu Integrieren um auf F(x) zu kommen, allerdings fehlt mir glaube ich wohl ein "Trick" bei der Sache.
Vielleicht könnte mir jemand einen Tip geben, danke schonmal.
dupline
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Hallo Katrin,
> a) Man beweise, dass die Funktion
> F: [mm]\IR \to \IR,[/mm]
> [mm]F(x)=\bruch{x}{2} \sqrt{1+x^2}+\bruch{1}{2}ln(x+\sqrt{1+x^2}),[/mm]
>
> eine Stammfunktion der Funktion f: [mm]\IR \to \IR,[/mm] f(x) =
> [mm]\wurzel{1+x^2},[/mm] ist.
> Nun habe ich in der Formelsammlung gefunden, dass dies so
> ist, aber ich kann es dummerweise nicht beweisen.
> Ich habe es schon in beide Richtungen versucht, also F(x)
> abzuleiten um f(x) zu bekommen und auch f(x) versucht zu
> Integrieren um auf F(x) zu kommen, allerdings fehlt mir
> glaube ich wohl ein "Trick" bei der Sache.
>
> Vielleicht könnte mir jemand einen Tip geben, danke
> schonmal.
Puh, hier sollst du auch nicht integrieren, es ist ja eine vermeindliche Stammfunktion angegeben.
Du sollst durch Ableiten von $F(x)$ verifizieren, dass dabei wieder $f(x)$ herauskommt, $F(x)$ also eine Stammfunktion von $f(x)$ ist ...
Wenn du es aber unbedingt über den Weg der Integration lösen möchtest, substituiere im Integral [mm] $\int{\sqrt{1+x^2} \ dx}$ [/mm] mal [mm] $x:=\sinh(u)$ [/mm] ...
>
> dupline
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Di 21.04.2009 | | Autor: | dupline |
oh, nein ich möchte nicht unbedingt integrieren  Ich hab es nur in beide Richtungen versucht, da ich nicht wusste was ich machen muss.
Mit der Ableitung komme ich nur nicht weiter, ich bin so weit...
F´(x) = [mm] \bruch{1}{2} \wurzel{1+x^2}+\bruch{1}{2} [\bruch{x^2}{ \wurzel{1+x^2}}+\bruch{1+\bruch{x}{\wurzel{1+x^2}}}{x+\wurzel{1+x^2}}]
[/mm]
ich sehe zumindest dass der erste Term sozusagen die halbe [mm] \wurzel{1+x^2} [/mm] ist und die beiden letzten Terme müssen also die andere Hälfte der [mm] \wurzel{1+x^2} [/mm] ergeben, aber ich kann das nicht vereinfachen...
EDIT:
Ok ich bin jetzt doch auf ein Ergebnis gekommen, bin mir jedoch nicht sicher ob ich das so machen darf:
Ich hab gesagt das Ganze in der eckigen Klammer muss wie oben beschrieben [mm] \wurzel{1+x^2} [/mm] ergeben und hab das also gleichgesetzt und letztendlich kürzt sich alles auf beiden Seiten weg so dass 0=0 dasteht.
Reicht das als Beweis (mit Erklärung warum ich das so mache) aus?
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Hallo nochmal,
> oh, nein ich möchte nicht unbedingt integrieren Ich hab
> es nur in beide Richtungen versucht, da ich nicht wusste
> was ich machen muss.
>
> Mit der Ableitung komme ich nur nicht weiter, ich bin so
> weit...
> F´(x) = [mm]\bruch{1}{2} \wurzel{1+x^2}+\bruch{1}{2} [\bruch{x^2}{ \wurzel{1+x^2}}+\bruch{1+\bruch{x}{\wurzel{1+x^2}}}{x+\wurzel{1+x^2}}][/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> ich sehe zumindest dass der erste Term sozusagen die halbe
> [mm]\wurzel{1+x^2}[/mm] ist und die beiden letzten Terme müssen also
> die andere Hälfte der [mm]\wurzel{1+x^2}[/mm] ergeben, aber ich kann
> das nicht vereinfachen...
Das stimmt alles bis hierher.
Mache nun mal im hinteren Bruch in der Klammer im Nenner gleichnamig, sprich:
[mm] $...+\frac{1}{2}\cdot{}\left[\frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{\frac{1\cdot{}\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}\right]$
[/mm]
[mm] $=...+\frac{1}{2}\cdot{}\left[\frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{(\sqrt{1+x^2})\cdot{}(x+\sqrt{1+x^2})}\right]$
[/mm]
Nun nur noch gleichnamig machen und danach in Zähler und Nenner [mm] $(x+\sqrt{1+x^2})$ [/mm] ausklammern, dann klappt's schon ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:40 Di 21.04.2009 | | Autor: | dupline |
Ah super, vielen Dank !!!
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