Stammfunktion cos und exp < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Fr 30.04.2010 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | Bilden Sie die Stammfunktion von:
k(t)= [mm] cos(2t)*e^{-4t} [/mm] |
Hallo zusammen,
hab ein bisschen Probleme, damit hier eine geeignete Stammfunktion zu finden.
[mm] \integral_{0}^{t}{cos(2t)*e^{-4t} dt}
[/mm]
Da hier ja die Produktregel gilt hab ich so meine schwierigkeiten damit.
Kann mir da vllt jemand bisschen helfen?
Gruß peeetaaa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 Fr 30.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo peeetaaa!
Hier führt partielle Integration zum Ziel. Diese musst Du hier zweimal anwenden.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Di 04.05.2010 | | Autor: | peeetaaa |
Okay danke schonmal!
hab das jetzt mal mit partieller integration versucht aber iwie klappts nicht so ganz:
[mm] \integral_{0}^{t}{cos(2t)\cdot{}e^{-4t} dt}
[/mm]
[mm] [\bruch{1}{2}sin(2t)*e^{-4t} [/mm] ] +
[mm] \integral_{0}^{t}{\bruch{1}{2}sin(2t)*(-4e^{-4t}) dt}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}sin(2t)*e^{-4t} [/mm] -2* [mm] \integral_{0}^{t}{sin(2t)*e^{-4t} dt}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}sin(2t)*e^{-4t}-2*([\bruch{1}{2}cos(2t)*e^{-4t}])
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}sin(2t)*e^{-4t} -2(\bruch{1}{2}cos(2t)*e^{-4t}- \bruch{1}{2})
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}sin(2t)*e^{-4t} -cos(2t)e^{-4t}+1
[/mm]
aber das ist ja wohl ein falsches ergebnis! kann mir jmd vllt sagen was ich wo falsch gemacht hab?
danke
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Hallo Peter,
> Okay danke schonmal!
> hab das jetzt mal mit partieller integration versucht aber
> iwie klappts nicht so ganz:
>
> [mm]\integral_{0}^{t}{cos(2t)\cdot{}e^{-4t} dt}[/mm]
>
> [mm][\bruch{1}{2}sin(2t)*e^{-4t}[/mm] ] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") + [mm]\integral_{0}^{t}{\bruch{1}{2}sin(2t)*(-4e^{-4t}) dt}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es ist doch $\int{e^{-4t} \ dt}=-\frac{1}{4}e^{-4t}$
Also $\int{\cos(2t)e^{-4t} \ dt}=\frac{1}{2}\sin(2t)e^{-4t} \ - \ \int{\frac{1}{2}\sin(2t)\cdot{}\left(-\frac{1}{4}\right)\cdot{}e^{-4t}=\frac{1}{2}\sin(2t)e^{-4t}+\frac{1}{8}\int{\sin(2t)e^{-4t} \ dt}$
Nun nochmal das verbliebene Integral partiell integrieren, dann steht am Ende da ein Vielfaches des Ausgangsintegrals.
Dann kannst du nach dem Ausgangsintegral umstellen ...
>
> [mm]\bruch{1}{2}sin(2t)*e^{-4t}[/mm] -2*
> [mm]\integral_{0}^{t}{sin(2t)*e^{-4t} dt}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}sin(2t)*e^{-4t}-2*([\bruch{1}{2}cos(2t)*e^{-4t}])[/mm]
> [mm]\bruch{1}{2}sin(2t)*e^{-4t} -2(\bruch{1}{2}cos(2t)*e^{-4t}- \bruch{1}{2})[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}sin(2t)*e^{-4t} -cos(2t)e^{-4t}+1[/mm]
>
> aber das ist ja wohl ein falsches ergebnis! kann mir jmd
> vllt sagen was ich wo falsch gemacht hab?
>
> danke
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Di 04.05.2010 | | Autor: | peeetaaa |
danke schonmal!
hab jedoch noch eine Frage und zwar dachte ich, dass ich bei
[mm] [\bruch{1}{2}sin(2t)\cdot{}e^{-4t} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{t}{\bruch{1}{2}sin(2t)\cdot{}(-4e^{-4t}) dt} [/mm]
das [mm] e^{-4t} [/mm] jetzt ableiten müsste und nicht integrieren
hab ja zuerst den cos-term integriert und den e-teil so gelassen, dann hab ich den aufgeleiteten term ins integral geschrieben und dann die e-funktion abgeleitet...muss man das nicht so machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Di 04.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast recht.
Aber im vorigen post fehlt beim zweiten mal part. integrieren was, oder ich komm nicht dahinter wo dein 1/2 am Ene herkommt. du hast wieder, bis auf faktoren das Ausgangsintegral am Ende, und bringst es auf die andere Seite, dann hast du ein Vielfaches des Ausgangsintegrals.
Gruss leduart
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Hallo Peter,
ja, das haben du und leduart natürlich richtig bemerkt.
Tut mir leid, dass ich einen solchen Unfug geschreiben habe, war wohl zu unkonzentriert ...
Gruß
schachuzipus
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 16:11 Di 04.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
da war ein Versehen, im Integral steht die Ableitung von [mm] e^{-4t}
[/mm]
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Di 04.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Weitere Möglichkeit: der Weg übers Komplexe:
Setze $f(t) := [mm] e^{(-4+2i)t}$. [/mm] Dann ist $k(t)= Re(f(t))$
Eine Stammfunktion von f ist gegeben durch
$F(t)= [mm] \bruch{1}{-4+2i}e^{(-4+2i)t}$.
[/mm]
Eine Stammfunktion von k ist dann z.B. $Re(F(t))$
Nun rechne mal
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:50 Mo 10.05.2010 | | Autor: | peeetaaa |
Danke für die Hilfe!
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