Stammfunktion bilden < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | $f(x) = [mm] \bruch{x^2}{x^3+1}$ [/mm] |
Hallo Leute,
ich muss die Stammfunktion von $f(x) = [mm] \bruch{x^2}{x^3+1}$ [/mm] bilden. Man müsste die eigentlich mit der partiellen Integration oder durch Integration durch Substitution lösen können. Subsitution fällt aber weg, da die [mm] $x^2$ [/mm] nicht die Ableitung von [mm] $x^3+1$ [/mm] ist.
Bleibt nur die partielle Integration, oder? Was würdet ihr für v(x) und u(x) wählen? Habe Probleme bei [mm] $({x^3+1})^{-1}$... [/mm] Man müsste ja entweder die Ableitung oder die Stammfunktion bilden (je nachdem, ob [mm] $({x^3+1})^{-1}$ [/mm] u(x) oder v(x) ist).
Vielen Dank für eure Hilfe.
Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:48 Mi 01.02.2012 | | Autor: | glie |
> [mm]f(x) = \bruch{x^2}{x^3+1}[/mm]
> Hallo Leute,
> ich muss die Stammfunktion von [mm]f(x) = \bruch{x^2}{x^3+1}[/mm]
> bilden. Man müsste die eigentlich mit der partiellen
> Integration oder durch Integration durch Substitution
> lösen können. Subsitution fällt aber weg, da die [mm]x^2[/mm]
> nicht die Ableitung von [mm]x^3+1[/mm] ist.
> Bleibt nur die partielle Integration, oder? Was würdet
> ihr für v(x) und u(x) wählen? Habe Probleme bei
> [mm]({x^3+1})^{-1}[/mm]... Man müsste ja entweder die Ableitung
> oder die Stammfunktion bilden (je nachdem, ob
> [mm]({x^3+1})^{-1}[/mm] u(x) oder v(x) ist).
>
> Vielen Dank für eure Hilfe.
>
> Steffi
Hallo Steffi,
ist dir folgende Integralregel bekannt:
[mm] $\integral{\bruch{f'(x)}{f(x)}dx}=ln|f(x)|+c$
[/mm]
Wenn ja, dann versuch's doch mal wie folgt:
[mm] $\integral {\bruch{x^2}{x^3+1}dx}=\red{\bruch{1}{3}}*\integral{\bruch{\red{3}*x^2}{x^3+1}dx}=...$
[/mm]
Gruß Glie
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Wie heißt diese Integralregel? Ich meine, dass ich die Integralregel nicht kenne.
Die Lösung wäre doch:
$F(x) = [mm] \bruch{1}{3}*ln(x^3+1)$
[/mm]
richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:02 Mi 01.02.2012 | | Autor: | glie |
> Wie heißt diese Integralregel? Ich meine, dass ich die
> Integralregel nicht kenne.
> Die Lösung wäre doch:
> [mm]F(x) = \bruch{1}{3}*ln(x^3+1)[/mm]
>
> richtig?
Ja fast, nimm da zur Sicherheit den Absolutbetrag, sonst könntest du mit deiner Definitionsmenge in Konflikt geraten, also
$F(x) = [mm] \bruch{1}{3}*ln|x^3+1|+c$
[/mm]
Sonst passt das.
Diese Integralregel kannst du dir doch ganz leicht klarmachen, betrachte dazu die Funktion
[mm] $g(x)=\ln(f(x))$
[/mm]
und bilde davon die Ableitung. Denke dabei an die Kettenregel. Was erhältst du?
Gruß Glie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:01 Do 02.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Wie heißt diese Integralregel?
Das ist eine gute Frage ! Ja, wie soll man sowas nennen ? Ich tendiere zu "Substitutionsregel" (mit der Substitution u=f(x)).
Jetzt wirst Du sagen: "Substitutionsregel" steht doch für etwas anderes !
Na ja, es so wie mit dem Begriff "Schwarzbrot". Das heißt nur so, obwohl es gar kein Brot ist. Alles klar ?
FRED
> Ich meine, dass ich die
> Integralregel nicht kenne.
> Die Lösung wäre doch:
> [mm]F(x) = \bruch{1}{3}*ln(x^3+1)[/mm]
>
> richtig?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:50 Do 02.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Wie heißt diese Integralregel?
>
> Das ist eine gute Frage ! Ja, wie soll man sowas nennen ?
> Ich tendiere zu "Substitutionsregel" (mit der Substitution
> u=f(x)).
>
> Jetzt wirst Du sagen: "Substitutionsregel" steht doch für
> etwas anderes !
>
>
> Na ja, es so mit dem Begriff "Schwarzbrot". Das heißt nur
> so, obwohl es gar kein Brot ist. Alles klar ?
oder "Bierknacker", oder "Bierwurst". Okay, ist nicht ganz das gleiche, gebe ich zu, aber das wurde ohne Bier hergestellt... Obwohl, wer weiß, was die bei der Herstellung trinken ^^
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:10 Do 02.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > > Wie heißt diese Integralregel?
> >
> > Das ist eine gute Frage ! Ja, wie soll man sowas nennen ?
> > Ich tendiere zu "Substitutionsregel" (mit der Substitution
> > u=f(x)).
> >
> > Jetzt wirst Du sagen: "Substitutionsregel" steht doch für
> > etwas anderes !
> >
> >
> > Na ja, es so mit dem Begriff "Schwarzbrot". Das heißt nur
> > so, obwohl es gar kein Brot ist. Alles klar ?
>
> oder "Bierknacker", oder "Bierwurst". Okay, ist nicht ganz
> das gleiche, gebe ich zu, aber das wurde ohne Bier
> hergestellt... Obwohl, wer weiß, was die bei der
> Herstellung trinken ^^
Hallo Marcel,
Dein Vergleich hinkt, aber immerhin hinkt er in die richtige Richtung !
Neulich habe ich Bierwurst gegessen. Die hat so besch... geschmeckt, dass man glauben konnte, der oder die Hersteller waren sternhagelvoll.
Gruß FRED
>
> Gruß,
> Marcel
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:23 Do 02.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hi Fred,
> > Hallo Fred,
> >
> > > > Wie heißt diese Integralregel?
> > >
> > > Das ist eine gute Frage ! Ja, wie soll man sowas nennen ?
> > > Ich tendiere zu "Substitutionsregel" (mit der Substitution
> > > u=f(x)).
> > >
> > > Jetzt wirst Du sagen: "Substitutionsregel" steht doch für
> > > etwas anderes !
> > >
> > >
> > > Na ja, es so mit dem Begriff "Schwarzbrot". Das heißt nur
> > > so, obwohl es gar kein Brot ist. Alles klar ?
> >
> > oder "Bierknacker", oder "Bierwurst". Okay, ist nicht ganz
> > das gleiche, gebe ich zu, aber das wurde ohne Bier
> > hergestellt... Obwohl, wer weiß, was die bei der
> > Herstellung trinken ^^
>
> Hallo Marcel,
>
> Dein Vergleich hinkt, aber immerhin hinkt er in die
> richtige Richtung !
bei Bierwurst hinkt er, das stimmt. Deswegen habe ich das ja auch kommentiert. Aber bei "Bierknacker": Das ist weder Bier noch ein "Knacker" ^^
Wobei sicher nicht alle dieses Wort so kennen. Wie sagt man hier in Baden-Württemberg? Ich glaube Schinkenbeißer heißen die hier. Neulich hat man mich in der Bäckerei auch komisch angeguckt, als ich den "Granatsplitter" bestellt habe - habe das aber während der Bestellung gesagt, unter welchem Namen ich diese Teile kenne. Sie sind auch nicht ganz das gleiche, aber die "Bergsteiger" hier sind den Granatsplittern ähnlich!
> Neulich habe ich Bierwurst gegessen. Die hat so besch...
> geschmeckt, dass man glauben konnte, der oder die
> Hersteller waren sternhagelvoll.
Da hatte der Name wenigstens seine Berechtigung 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:14 Fr 03.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi Fred,
>
> > > Hallo Fred,
> > >
> > > > > Wie heißt diese Integralregel?
> > > >
> > > > Das ist eine gute Frage ! Ja, wie soll man sowas nennen ?
> > > > Ich tendiere zu "Substitutionsregel" (mit der Substitution
> > > > u=f(x)).
> > > >
> > > > Jetzt wirst Du sagen: "Substitutionsregel" steht doch für
> > > > etwas anderes !
> > > >
> > > >
> > > > Na ja, es so mit dem Begriff "Schwarzbrot". Das heißt nur
> > > > so, obwohl es gar kein Brot ist. Alles klar ?
> > >
> > > oder "Bierknacker", oder "Bierwurst". Okay, ist nicht ganz
> > > das gleiche, gebe ich zu, aber das wurde ohne Bier
> > > hergestellt... Obwohl, wer weiß, was die bei der
> > > Herstellung trinken ^^
> >
> > Hallo Marcel,
> >
> > Dein Vergleich hinkt, aber immerhin hinkt er in die
> > richtige Richtung !
>
> bei Bierwurst hinkt er, das stimmt. Deswegen habe ich das
> ja auch kommentiert. Aber bei "Bierknacker": Das ist weder
> Bier noch ein "Knacker" ^^
> Wobei sicher nicht alle dieses Wort so kennen. Wie sagt man
> hier in Baden-Württemberg?
Du bist also , wie ich, auch in diesem tollen Bundesland zuhause ! Wo denn, wenn ich fragen darf ?
> Ich glaube Schinkenbeißer
> heißen die hier. Neulich hat man mich in der Bäckerei
> auch komisch angeguckt, als ich den "Granatsplitter"
> bestellt habe - habe das aber während der Bestellung
> gesagt, unter welchem Namen ich diese Teile kenne. Sie sind
> auch nicht ganz das gleiche, aber die "Bergsteiger" hier
> sind den Granatsplittern ähnlich!
In unserem "Dorf" gibt es einen Metzger, der "Fernsehwürste" verkauft !
Gruß FRED
>
> > Neulich habe ich Bierwurst gegessen. Die hat so besch...
> > geschmeckt, dass man glauben konnte, der oder die
> > Hersteller waren sternhagelvoll.
>
> Da hatte der Name wenigstens seine Berechtigung
>
> Gruß,
> Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:59 Do 02.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wie heißt diese Integralregel? Ich meine, dass ich die
> Integralregel nicht kenne.
ich tendiere zu "Ergebnis einer Anwendung der Substitutionsregel". Warum?
Naja, wie Fred schon sagte:
Mit $u=f(x)$ ist $du=f'(x)dx$ und daher
[mm] $$\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\int \frac{1}{f(x)}\;f'(x)dx=\int \frac{1}{u}du=\ln(u)=(\ln \circ f)(x)\,.$$
[/mm]
Es ist also weniger die Substitutionsregel, sondern ein Ergebnis einer Anwendung eben dieser - meiner Ansicht nach!
Gruß,
Marcel
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Hallo
Substituiere doch einfach [mm] x^3+1. [/mm] Warum sollte das nicht klappen?
[mm] w=x^3+1
[/mm]
[mm] dw=3x^2*dx
[/mm]
Nach dx umstellen, einsetzen und dann hebt sich das [mm] x^2 [/mm] weg.
Und bei partieller Integration kann ich dir einen guten Tipp geben: Probier es aus und schau nach, ob sich am Ende dein Integral vereinfacht hat oder ob du es verkomplziert hast. Manchmal(häufig bei trigonmetrischen Funktionen) musst du die partielle Integration auch mehrmals anwenden.
Gruß
TheBozz-mismo
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Danke, also so hatten wir das noch nicht gemacht.
Für $dx = [mm] \bruch{dw}{3x^2}$... [/mm] Muss man das dann hier einsetzen?
$f(x) = [mm] \bruch{x^2}{x^3+1} [/mm] dx$
Wenn ja, dann wäre das:
[mm] $\bruch{dw}{3x^3+3}$
[/mm]
nur, wie geht's jetzt weiter?
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Hallo nochmal
> Danke, also so hatten wir das noch nicht gemacht.
> Für [mm]dx = \bruch{dw}{3x^2}[/mm]... Muss man das dann hier
> einsetzen?
>
> [mm]f(x) = \bruch{x^2}{x^3+1} dx[/mm]
>
> Wenn ja, dann wäre das:
> [mm]\bruch{dw}{3x^3+3}[/mm]
>
Nein ganz.
Also du substituierst [mm] w=x^3+1 [/mm] und wir haben für die Integrationsvariabel folgende Gleichung: [mm] dx=\bruch{dw}{3x^2}
[/mm]
Jetzt setzt man beides in das Integral ein
[mm] =>\integral_{}^{}\bruch{x^2}{w}*\bruch{dw}{3x^2}=\bruch{1}{3}*\integral_{}^{}\bruch{1}{w}dw [/mm] und dieses Integral kannst du einfach lösen(Wenn du es dir einfacher machen willst, dann schreib [mm] \bruch{1}{w}=w^{-1}) [/mm] Und am Ende nicht die Rücksubstitution vergessen
> nur, wie geht's jetzt weiter?
Gruß
TheBozz-mismo
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