Stammfunktion bilden < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 So 30.01.2011 | | Autor: | timsaid |
| Aufgabe | | Ermitteln Sie die Stammfunktionen F und G. f(x) = [mm] 440*e^x/(e^x+10)^2 [/mm] g(x)=40*e^(-x) |
Hey Leute :) Ich bin´s wieder.
Ich sollte bei dieser Aufgabe die Stammfunktion bilden. Ich habe dies auch im Ansatz geschafft, jedoch fehlt mir am Ende immer eine Summe.
Ich komme auf folgende Ableitungen:
F(x) = [mm] -440/e^x+10 [/mm] und G(x)=-40*e^(-x)
Lauf Lösung gehört aber an beiden Funktionen noch am Ende ein +44 dazu :( Verstehe nicht wie die darauf kommen.
Als Tipp ist gegeben : Die Substitution ex+10 kann hilfreich sein.
Und dann folgt ein Gewirr von Integralen etc. etc.
Ich die Ableitung gebildet in dem ich mir überlegt hab: Was abgeleitet ergibt wieder f(x) und g(x)
Hoffe ihr könnt mir folgen und helfen :('
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Die Stammfunktion von $g(x)=40*e^{-x}$ ist $G(x)=-40*e^{-x}+const$. Das mit +44 ist m.E. falsch. Beim ableiten wechselt ja einfach nur das Vorzeichen (somit ist diese Funktion auch unendlich oft differenzierbar und erfüllt die Gleichung $f = f''$ bzw. $F=f'$, wenn die Konstante Null ist).
Zum 2. Integral:
$f(x)=\frac{440*e^x}{(e^x +10)^{2}}$
Die Stammfunktion hier ist:
$F(x)=-\bruch{440}{e^{x}+10}$
Wie kommt man drauf?
$\integral{\frac{440*e^x}{(e^x +10)^{2}} dx} = 440 * \integral{\frac{e^x}{(e^x +10)^{2}}$ (Konstante kann man aus dem Integral rausziehen)
Substituiere nun mit $u:=e^{x} + 10$ und $du = e^{x}dx$
$ \Rightarrow 440* \integral{\frac{1}{u^{2}} du}$ und die Stammfunktion ist hier $-\frac{1}{u} + const.$ also $= -\frac{440}{u} + const.$
Durch Rücksubstituieren erhältst du nun $-\frac{440}{e^{x}+10} + const.$
Für die nächsten Integrale kannst du auch diese Seite benutzen
(einfach Funktion eingeben und er spuckt alles aus):
http://www.wolframalpha.com/
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:39 So 30.01.2011 | | Autor: | timsaid |
Die haben die Stammfuntkion gleich 0 gesetzt und sind so auf die Konstante gekommen habe ich soeben bemerkt. Das würde es plausibler machen oder? Und danke für ihre Antwort :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 So 30.01.2011 | | Autor: | Walde |
Hi timsaid,
> Die haben die Stammfuntkion gleich 0 gesetzt und sind so
> auf die Konstante gekommen habe ich soeben bemerkt. Das
> würde es plausibler machen oder?
Nein, weil beide Stammfunkionen keine Nullstellen haben.
Edit: Das muss ich anders formulieren:
Wenn du einfach Null setzt hättest du 2 Unbekannte. Einmal x und einmal die Konstante. Es würde funktionieren, wenn ein Punkt gegeben wäre: So was wie F(0)=0. Dann kann man nach der Kontanten auflösen. Das war es wohl, was du gemeint hast.
LG walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:48 So 30.01.2011 | | Autor: | timsaid |
Ups :X Die haben die nicht gleich 0 gesetzt sondern haben 0 eingesetzt. also F(0)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 So 30.01.2011 | | Autor: | musesician |
Naja es gibt ja zu Funktionen nie eine eindeutige Stammfunktion, sondern immer unendlich viele.
[mm] $G_{1}(x)=-40*e^{-x} [/mm] +40$ ist genauso Stammfunktion von $g(x)$ wie z.B. [mm] $G_{2}(x)=-40*e^{-x} [/mm] +1,3$. Nur ist es jetzt halt eine bestimmte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:51 So 30.01.2011 | | Autor: | timsaid |
Ja das stimmt :). Nur frage ich mich, wie man auf die Konstante c kommen soll die gesucht ist :/ . Wenn sich jemand die Aufgabe genauer ansehen möchte : http://www.mint-hamburg.de/abitur/Analysis.pdf Seite 48
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:15 So 30.01.2011 | | Autor: | musesician |
Also die Lösung zur Aufgabe befindet sich auf Seite 129, falls du das noch nicht gemerkt haben solltest^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:22 So 30.01.2011 | | Autor: | musesician |
Du sollst hier tatsächlich eine bestimmte Stammfunktion aufstellen.
Und da die Sträucher G und F beim Pflanzen (x=0) die Höhe 4 haben, gelten die Anfangsbedingungen G(0) = 4 und F(0) = 4. Und damit kann man dann die Konstanten berechnen und erhält die genauen Stammfunktionen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:29 So 30.01.2011 | | Autor: | timsaid |
Jetzt kann ich das ganze nachvollziehen. Danke dir sehr :) Habe das mit der Anfangshöhe nicht gelesen. :)
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