Stammfunktion bestimmen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 So 27.02.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | (i) Bestimmen Sie eine Stammfunktion der Funktion f(x) = [mm] cos(x)^{3} [/mm] für [mm] x\in\IR
[/mm]
(ii) Berechnen Sie [mm] \integral_{1}^{4}{\bruch{exp(-\wurzel{x})}{\wurzel{x}(exp(-2\wurzel{x})+1)} dx} [/mm] |
Zu (i): [mm] \integral_{}^{}{cos(x)*cos(x)^{2} dx} [/mm] = sin(x)*cos(x) [mm] +2\integral_{}^{}{sin(x)^{2}*cos(x) dx} [/mm]
[mm] \integral_{}^{}{sin(x)^{2}*cos(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{cos(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{cos(x)^{2} dx} [/mm] = sin(x) - [mm] \integral_{}^{}{cos(x)^{2} dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{cos(x)^{2} dx}= cos(x)sin(x)+\integral_{}^{}{sin(x)^{2} dx} [/mm] = [mm] cos(x)sin(x)+\integral_{}^{}{1-cos(x)^{2} dx}
[/mm]
[mm] \Rightarrow 2\integral_{}^{}{cos(x)^{2} dx}= [/mm] cos(x)sin(x)+x [mm] \Rightarrow \integral_{}^{}{cos(x)^{2} dx} [/mm] = [mm] \bruch{(cos(x)sin(x)+x)}{2}
[/mm]
Dann erhalte ich : [mm] \integral_{}^{}{cos(x)*cos(x)^{2} dx} [/mm] = sin(x)*cos(x) +2sin(x)-cos(x)sin(x)-x = 2sin(x) -x
Stimmt das so?
Zu (ii): Da habe ich es mit Substitution versucht. Sei u:= [mm] \wurzel{x} [/mm] und dann [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\wurzel{x}} \gdw 2\wurzel{x}du [/mm] = dx [mm] \Rightarrow \integral_{}^{}{\bruch{exp(-u)}{u(exp(-2u)+1)}2\wurzel{x} du} [/mm] Hm und jetzt komm ich leider nicht weiter. Hoffe ihr könnt mir helfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 So 27.02.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Loriot!
Substituiere hier $u \ := \ [mm] \exp\left(-2\wurzel{x}\right)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 So 27.02.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Loriot!
Die Idee der partiellen Integration ist sehr gut. Allerdings stimmt der Term vor dem neuen Integral nicht. Wie sehen denn die einzelnen Terme der partiellen Integration aus?
Später kannst Du dann auch im neu entstehenden Integral [mm]\sin^2(x) \ = \ 1-\cos^2(x)[/mm] anwenden.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:19 So 27.02.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Danke schön :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Mo 28.02.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Nach längeren probieren wollte es leider immernoch nicht klappen:
u = [mm] exp(-2\wurzel{x}) \Rightarrow \bruch{du}{dx} [/mm] = - [mm] \bruch{exp(-2\wurzel{x})}{\wurzel{x}} \Rightarrow [/mm] - [mm] \bruch{\wurzel{x}}{exp(-2\wurzel{x})} [/mm] du = dx
Einsetzen ergibt: [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{exp(-\wurzel{x})}{\wurzel{x}(u+1)}*- \bruch{\wurzel{x}}{u} du} [/mm] = - [mm] \integral_{}^{}{\bruch{exp(-\wurzel{x})}{u(u+1)} du}
[/mm]
Was mache ich nun mit [mm] exp(-\wurzel{x}) [/mm] ?
Hoffe ihr könnt mir helfen
LG Loriot
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Hallo Loriot95,
> Nach längeren probieren wollte es leider immernoch nicht
> klappen:
>
> u = [mm]exp(-2\wurzel{x}) \Rightarrow \bruch{du}{dx}[/mm] = -
> [mm]\bruch{exp(-2\wurzel{x})}{\wurzel{x}} \Rightarrow[/mm] -
> [mm]\bruch{\wurzel{x}}{exp(-2\wurzel{x})}[/mm] du = dx
>
> Einsetzen ergibt: [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{exp(-\wurzel{x})}{\wurzel{x}(u+1)}*- \bruch{\wurzel{x}}{u} du}[/mm]
> = - [mm]\integral_{}^{}{\bruch{exp(-\wurzel{x})}{u(u+1)} du}[/mm]
>
> Was mache ich nun mit [mm]exp(-\wurzel{x})[/mm] ?
Ersetzen durch [mm]\wurzel{u}[/mm]
>
> Hoffe ihr könnt mir helfen
> LG Loriot
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Mo 28.02.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Hm ich finde das macht es nicht unbedingt leichter:
[mm] -\integral_{}^{}{\bruch{\wurzel{u}}{u(u+1)} du} [/mm] = - [mm] (\bruch{2}{3}u^{\bruch{3}{2} })(u(u+1))^{-1} [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{- (\bruch{2}{3}u^{\bruch{3}{2} } \bruch{1}{(u+1)^2}) du}
[/mm]
Hm geht das nicht irgendwie leichter? Ich bedanke mich schon mal für eure Hilfe :)
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Hi,
> Hm ich finde das macht es nicht unbedingt leichter:
>
> [mm]-\integral_{}^{}{\bruch{\wurzel{u}}{u(u+1)} du}[/mm] = -
> [mm](\bruch{2}{3}u^{\bruch{3}{2} })(u(u+1))^{-1}[/mm] -
> [mm]\integral_{}^{}{- (\bruch{2}{3}u^{\bruch{3}{2} } \bruch{1}{(u+1)^2}) du}[/mm]
Bei dem Integral hättest du noch [mm] \sqrt{u} [/mm] kürzen können.
Allerdings bringt dich das nicht wirklich weiter. (Man kann dann z.B. nochmal substituieren, PZB usw.)
Ich hätte bei der Aufgabe eher mit [mm] u=\exp(\sqrt{x}) [/mm] substituiert. Da kommt dann nämlich was (wahrscheinlich) Bekanntes raus.
>
> Hm geht das nicht irgendwie leichter? Ich bedanke mich
> schon mal für eure Hilfe :)
>
Gruß
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Hallo Loriot,
ich finde es einfacher, statt [mm]u:=\exp(-2\sqrt{x})[/mm] mal "nur"
[mm]z:=\exp(-\sqrt{x})[/mm] zu substituieren.
Dann kommst du auf [mm]-2\int{\frac{1}{1+z^2} \ dz}[/mm] und das kennst du sicher ...
Wenn du dann noch bedenkst, dass der [mm]\arctan[/mm] punktsymmetrisch zum Ursprung, also eine ungerade Funktion ist ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:35 Mo 28.02.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Vielen Dank :) habs nun
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:35 Mo 28.02.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo,
> ich finde es einfacher, statt [mm]u:=\exp(-2\sqrt{x})[/mm] mal
> "nur"
>
> [mm]z:=\exp(-\sqrt{x})[/mm] zu substituieren.
Oh, zweimal die gleiche Idee 
Gruß
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