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Forum "Integralrechnung" - Stammfunktion bestimmen
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Stammfunktion bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:55 Mi 18.03.2009
Autor: itse

Aufgabe
Bestimmen sie vom folgendem unbestimmten Integral, die Stammfunktion:

[mm] \int_{}^{} \bruch{1}{\wurzel{1-x²}}\, [/mm] dx

Hallo Zusammen,

ich weiß nun dass die Ableitung von ln x, (ln x)' = 1/x ergibt, somit wäre der erste Ansatz:

Stammfunktion: [mm] ln(\wurzel{1-x²}) [/mm]

Dies ergibt abgeleitet:  [mm] [ln(\wurzel{1-x²})]' [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-x²}} \cdot{} \bruch{1}{2} \cdot{} (1-x²)^{-\bruch{1}{2}} \cdot{} [/mm] (-2x) =  [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-x²}} \cdot{} [/mm] - [mm] \bruch{x}{\wurzel{1-x²}} [/mm] = - [mm] \bruch{x}{1-x²} [/mm]

Stimmt die Ableitung überhaupt?

Wie könnte man nun das Integral anpassen, damit nach der Kettenregel, das Selbe herauskommt?

Vielen Dank
itse

        
Bezug
Stammfunktion bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:03 Mi 18.03.2009
Autor: fred97


> Bestimmen sie vom folgendem unbestimmten Integral, die
> Stammfunktion:
>  
> [mm]\int_{}^{} \bruch{1}{\wurzel{1-x²}}\,[/mm] dx
>  Hallo Zusammen,
>  
> ich weiß nun dass die Ableitung von ln x, (ln x)' = 1/x
> ergibt, somit wäre der erste Ansatz:
>  
> Stammfunktion: [mm]ln(\wurzel{1-x²})[/mm]
>  
> Dies ergibt abgeleitet:  [mm][ln(\wurzel{1-x²})]'[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1-x²}} \cdot{} \bruch{1}{2} \cdot{} (1-x²)^{-\bruch{1}{2}} \cdot{}[/mm]
> (-2x) =  [mm]\bruch{1}{\wurzel{1-x²}} \cdot{}[/mm] -
> [mm]\bruch{x}{\wurzel{1-x²}}[/mm] = - [mm]\bruch{x}{1-x²}[/mm]
>  
> Stimmt die Ableitung überhaupt?



Ja, aber das nützt Dir nichts



Substituiere $x = sin(t)$


FRED


>  
> Wie könnte man nun das Integral anpassen, damit nach der
> Kettenregel, das Selbe herauskommt?
>  
> Vielen Dank
>  itse


Bezug
                
Bezug
Stammfunktion bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:35 Mi 18.03.2009
Autor: itse

Hallo,


wie kommt man denn auf die Substitution x = sin(t) ?

Wenn ich dies einsetze:

$ [mm] \int_{}^{} \bruch{1}{\wurzel{1-sin²(t)}}\, [/mm] $ dx

Nur wie erkenne ich nun, was die außere bzw. innere Funktion des Integral ist, damit ich die Substitutionsregel anwenden kann?

Gruß
itse



Bezug
                        
Bezug
Stammfunktion bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:44 Mi 18.03.2009
Autor: fred97


> Hallo,
>  
>
> wie kommt man denn auf die Substitution x = sin(t) ?
>  
> Wenn ich dies einsetze:
>  
> [mm]\int_{}^{} \bruch{1}{\wurzel{1-sin²(t)}}\,[/mm] dx


Es ist $dx =cos(t)dt$. Also erhälst Du

[mm]\int_{}^{} \bruch{1}{\wurzel{1-sin²(t)}}\,[/mm] cos(t)dt = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{cost}{|cost|} dt} [/mm]

FRED




>
> Nur wie erkenne ich nun, was die außere bzw. innere
> Funktion des Integral ist, damit ich die Substitutionsregel
> anwenden kann?
>  
> Gruß
>  itse
>  
>  


Bezug
                                
Bezug
Stammfunktion bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:31 Do 19.03.2009
Autor: itse

Guten Morgen,

> > Hallo,
>  >  
> >

Wie kommt man denn auf die Substitution x = sin(t) ?

> > Wenn ich dies einsetze:
>  >  
> > [mm]\int_{}^{} \bruch{1}{\wurzel{1-sin²(t)}}\,[/mm] dx
>
>
> Es ist [mm]dx =cos(t)dt[/mm]. Also erhälst Du
>  
> [mm]\int_{}^{} \bruch{1}{\wurzel{1-sin²(t)}}\,[/mm] cos(t)dt =

Mit der Formel sin²(t)+cos²(t) = 1, kommt man auf dies

> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{cost}{|cost|} dt}[/mm]

Nur wie geht es nun weiter?

Ich muss dies ja soweit umformen bzw. anpassen, damit ich sehe, welche abgeleitete Stammfunktion wieder das unbestimmte Integral ergibt.

Grüße
itse

Bezug
                                        
Bezug
Stammfunktion bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:43 Do 19.03.2009
Autor: fred97


> Guten Morgen,
>  
> > > Hallo,
>  >  >  
> > >
> Wie kommt man denn auf die Substitution x = sin(t) ?



Wegen $ 1-sin^2t = cos^2t$


>  
> > > Wenn ich dies einsetze:
>  >  >  
> > > [mm]\int_{}^{} \bruch{1}{\wurzel{1-sin²(t)}}\,[/mm] dx
> >
> >
> > Es ist [mm]dx =cos(t)dt[/mm]. Also erhälst Du
>  >  
> > [mm]\int_{}^{} \bruch{1}{\wurzel{1-sin²(t)}}\,[/mm] cos(t)dt =
>
> Mit der Formel sin²(t)+cos²(t) = 1, kommt man auf dies
>  
> > [mm]\integral_{}^{}{\bruch{cost}{|cost|} dt}[/mm]
>  
> Nur wie geht es nun weiter?


Eine Stammfunktion suchst Du immer auf eunem Intervall I

Ist nun I so, dass $cost > 0 $ auf I, dann ist

[mm]\integral_{}^{}{\bruch{cost}{|cost|} dt}[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{1 dt}[/mm] =$t+c = arcsin(x)+c$

FRED




>
> Ich muss dies ja soweit umformen bzw. anpassen, damit ich
> sehe, welche abgeleitete Stammfunktion wieder das
> unbestimmte Integral ergibt.
>  
> Grüße
>  itse


Bezug
                                                
Bezug
Stammfunktion bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:08 Do 19.03.2009
Autor: itse

Vielen Dank für die Antwort. Ich wollte nun im Gegenzug die Stammfunktion differenzieren, somit müsste das Ingetral herauskommen. Der erste Schritt war:

[mm] [\bruch{1}{sin x} [/mm] +c ]' = [mm] \bruch{-cosx}{sin²x} [/mm]

Nun kann wieder die Formeln nach dem Einheitskreis: sin²x+cos²x = 1 zum Einsatz kommen:

= [mm] \bruch{-\wurzel{1-sin²x}}{sin²x} [/mm]

Jetzt komme ich aber nicht mehr weiter. Hilft einem vielleicht die vorher bestimmte Substitution weiter?

Danke
itse


Bezug
                                                        
Bezug
Stammfunktion bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:27 Do 19.03.2009
Autor: angela.h.b.


> Vielen Dank für die Antwort. Ich wollte nun im Gegenzug die
> Stammfunktion differenzieren, somit müsste das Ingetral
> herauskommen. Der erste Schritt war:
>  
> [mm][\bruch{1}{sin x}[/mm] +c ]' =


Hallo,

hier liegt ein riesengroßes Fehlverständnis vor:

der arkussinus ist die Umkehrfunktion des sinus, nicht  etwa der Kehrwert.

Gruß v. Angela



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