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| Aufgabe | | Bestimme die Stammfkt. von [mm] \bruch{sin^{3}x}{cosx} (|x|<\bruch{\pi}{2}) [/mm] durch geeignete Substitution. |
Hallo,
also ich bin verhältnismäßig gut voran gekommen, wobei ich aber irgendwo meinen Fehler nicht finde und nicht genau weiß, was ich mit dem eingeschränkten Definitionsbereich machen soll:
also ich habe sin(x) folgendermaßen mit y subsituiert, abgeleitet und umgeformt: y=sinx [mm] \Rightarrow dx=\bruch{dy}{cosx}
[/mm]
und [mm] cos^{2}x=1-sin^{2}x
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral{ \bruch{y^{3}}{cos^{2}x} dy } [/mm] = [mm] \integral{ \bruch{y^{3}}{1-y^{2}} dy }
[/mm]
dann [mm] z=y^{2} \Rightarrow dy=\bruch{dz}{2y}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral{ \bruch{y^{3}}{1-z^{2}} \bruch{dz}{2y} } [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \integral{ \bruch{z}{1-z} dz}
[/mm]
und nun steht im TW Folgendes:
[mm] \integral{ \bruch{x}{ax+b} } =\bruch{x}{a}-\bruch{b}{a^2}ln [/mm] |ax+b|
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{2} \integral{ \bruch{z}{1-z} dz}=\bruch{1}{2}*(- [/mm] ln |z-1|-z )
aber wenn ich dann z = [mm] sin^{2}x [/mm] einsetze, komme ich nicht, auf das von Derive gefundene Ergebnis von -ln(cos x) - [mm] \bruch{sin^{2}x}{2}
[/mm]
Vielen Dank für eure Hilfe, Tim
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:24 Mo 05.06.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo useratmathe,
ich hoffe, ich denke jetzt richtig...:
Wenn ich das richtig sehe, liegt Dein Problem bei
$ [mm] \ln(\cos [/mm] x) $ anstelle von [mm] $\bruch{\ln(\cos^2 x)}{2}$ [/mm] ?
[mm] $\bruch{\ln(\cos^2 x)}{2} [/mm] = [mm] \bruch{2*\ln(\cos x)}{2}$
[/mm]
OK?
Schöne Grüße,
ardik
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Ganz großes Danke!
Dieser Beziehung war ich mir nicht bewusst, kann man sie sich irgendwie erklären, dann merkts sich leichter?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:16 Mo 05.06.2006 | | Autor: | ardik |
Öh, das kenne ich als eines der Logarithmengesetze:
[mm] $\ln a^b [/mm] = [mm] b*\ln [/mm] a$
Eine Herleitung müsste ich erstmal ergrübeln...
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Ach und was mach ich mit dieser Einschränkung noch?
[mm] |x|<\bruch{\pi}{2}
[/mm]
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Hallöle,
das ist nur gegeben, um die Nullstellen des cos auszuschließen; wenn Du [mm] $x=\frac{\pi}{2}$ [/mm] in [mm] $\frac{sin(x)^3}{cos(x)}$ [/mm] einsetzt, "kracht's".
lg,
Peter
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Danke für die deine Antwort Peter,
sollt ich das in meine Lösung/Antwort noch in irgendeiner Form mit aufnehmen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:02 Di 06.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen useratmathe!
> sollt ich das in meine Lösung/Antwort noch in irgendeiner
> Form mit aufnehmen?
Meines Erachtens ist diese Erwähnung nicht zwingend erforderlich, da die Einschränkung von vornherein gegeben ist.
Man kann aber erwähnen, dass durch diese Einschränkung $x \ < \ [mm] \left|\bruch{\pi}{2}\right|$ [/mm] der zu integrierende Term auch wirklich existiert und definiert ist.
Gruß
Loddar
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