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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 So 24.10.2004 | | Autor: | dytronic |
Hallo, ich habe eine Frage wie Stammfunktionen bei Brühen funktionieren.
a) f(x) = [mm] \bruch{1}{x^5}
[/mm]
b) f(x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{x}}
[/mm]
c) f(x)= [mm] \bruch{1}{\wurzel{x^2}}
[/mm]
ich bin mir bei brüchen total unsicher, aber ich versuche es mal:
a) F(x) = [mm] \bruch{x}{\bruch{x^6}{6}}
[/mm]
b) F(x) = [mm] \bruch{x}{\wurzel{ \bruch{x^2}{2}}}
[/mm]
naja bei c) würde ich die 2en durch 3en austauschen, bitte antwortet schnell. wenn was falsch ist, dann schreibt bitte nicht nur das ergebnis, sondern wenn es geht auch den weg.
mfg dytronic
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Hallo.
Naja... so nun wahrscheinlich eher nicht, da beim Ableiten schonmal mindestens n Minus reinmüßte, aber keine Panik, das kriegen wir schon.
Aber Du kannst die Brüche doch umformen (mit Potenzregeln):
a)[mm]f(x)=x^{-5}[/mm]
b)[mm]f(x)=x^{-1/2}[/mm]
c)[mm]f(x)=\bruch{1} {\wurzel{x^3}}=x^{-3/2}[/mm]
Was Du bei c) wirklich gemeint hast, weiß ich nicht, weil Wurzel(x²)=|x|...
aber jetzt müßtest Du ja mit der Potenzregel weiterkommen...
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 So 24.10.2004 | | Autor: | dytronic |
so dann müssten die ergebnisse lauten:
a) F(x) = [mm] \bruch{\wurzel{x^4}}{-4}
[/mm]
b) F(x) = [mm] \bruch{\wurzel{x}}{0,5}
[/mm]
c) F(x) = [mm] \bruch{\wurzel{x}}{-0,5}
[/mm]
is das jetzt so richtig?
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Hi Rafael,
also die Antwort für Aufgabe b) war richtig, aber ich denke das war eher ein Zufallstreffer.
Zunächst mal ist mir aufgefallen, dass du zuerst so integriert hast:
[mm]f(x)=\frac{x^2}{x^5}[/mm] wird zu [mm]F(x)=\frac{\frac{x^3}{3}}{\frac{x^6}{6}}[/mm].
Das ist nicht richtig. Man leitet bei gebrochenen Funktionen nicht Zähler und Nenner getrennt ab, deswegen darf man rückwärts auch nicht getrennt integrieren. In meinem Beispiel geht das so:
[mm]f(x)=\frac{x^2}{x^5}=\frac{1}{x^3}=x^{-3}[/mm].
Sorry, ich musste hier einen Fehler korrigieren (schäm)!
Das Integral dazu ist: [mm]F(x)=\frac{1}{-2}\cdot x^{-2}=-\frac{1}{2x^{2}}[/mm].
Der Exponent wird um 1 vergrößert (von -3 auf -2) und durch den neuen Exponenten (-2) wird dividiert.
Deshalb ergibt sich in deinem Beispiel b)
[mm] f(x)=x^{-1/2} [/mm] das Integral [mm] F(x)=\frac{1}{+1/2}x^{+1/2}=\frac{\sqrt{x}}{0,5}=2\sqrt{x}[/mm].
[/mm]
Probier doch mal die anderen beiden Aufgaben nach der Methode:
- auf [mm]x^\dots[/mm]-Form bringen
- Exponent um 1 größer machen
- durch den neuen Exponenten teilen
- eventuell schöner aufschreiben
Hugo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 So 24.10.2004 | | Autor: | dytronic |
ok dann versuche ich mal a) zu lösen
f(x) = [mm] \bruch{1}{x^5} [/mm] = [mm] x^{^-5} [/mm]
[mm] F(x)=\frac{1}{-4}\cdot x^{-1}=-\frac{1}{4x} [/mm]
und hier c)
f(x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{x^2}} [/mm] = [mm] x^{^-2} [/mm]
[mm] F(x)=\frac{1}{-1}\cdot x^{-1}=-\frac{1}{x} [/mm]
is das jetzt richtig?
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Mach es doch einfach, ganz mechanisch so, wie Hugo es gesagt hat, dann kommst Du automatisch zum richtigen Ergebnis:
hier z.B. Aufgabe a):
[mm]f(x)=\bruch{1} {x^5}=x^{-5}[/mm]
So. Nun Schritt für Schritt:
Exponent um 1 größer machen: -5+1=-4
[mm]x^{-4}[/mm]
Dann durch den neuen Exponenten (-4) teilen, fertig.
[mm]F(x)=\bruch{x^{-4}}{-4}=-\bruch{1}{4x^{4}}[/mm].
Leite doch zur Kontrolle deine Ergebnisse nochmal ab, wenn was anderes rauskommt, war die Stammfunktion sicher falsch.
Und dann noch etwas:
[mm] \wurzel[n]{x}=x^{\bruch{1} {n}}[/mm], und nicht etwa etwas anderes.
Dann noch eine Frage zu Teil b): Wenn da wirklich [mm]\bruch{1} {\wurzel{x^2}}=\bruch{1} {|x|}[/mm] steht, kann man die Regel sicher nicht so einfach anwenden, da man ja ansonsten durch 0 teilen müßte. Aber eigentlich müßtet ihr die Funktion schon gehabt haben, deren Ableitung
[mm]\bruch{1} {|x|}[/mm] ist...
MfG,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 So 24.10.2004 | | Autor: | dytronic |
ihr bringt mich jetzt durch einander, Hugo_Sanchez-Vicario hat doch selbst auch so gerechnet
[mm] x^{-3} [/mm] = [mm] F(x)=\frac{1}{-2}\cdot x^{-1}=-\frac{1}{2x} [/mm]
warum ist dann mein a falsch?
ich hab doch genau das glöeiche getan [mm] F(x)=\frac{1}{-4}\cdot x^{-1}=-\frac{1}{4x} [/mm]
was sidn denn nun die korrekten lösungen zu a) und c)? wäre es nicht besser wenn ihr mir den richtigen weg hinschreibt und die lösung, dann würd ich es besser verstehen.
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Warum hast Du denn in deiner Rechnung erst [mm]x^{-3}[/mm] und später in der Stammfunktion [mm]x^{-1}[/mm]???
Und ging es in a) nicht eigentlich um [mm]x^{-5}[/mm]???
Aber ich sehe gerade, das steht wirklich bei Hugo drin, allerdings geht aus dem Antworttext hervor, daß es sich um einen Tippfehler handeln muß.
Geh doch bei der Bestimmung von Stammfunktionen einfach streng nach Regel vor, dann kommst Du schon auf das richtige Ergebnis.
Hier zur Kontrolle die richtigen Ergebnisse. Der weg ist (mit Ausnahme von c), genau der, den Hugo beschrieben hat.
a) [mm]f(x)=\bruch{1}{x^5}=x^{-5}[/mm]
[mm]F(x)=\bruch{x^{-4}}{-4}=-\bruch{1}{4x^{4}}[/mm]
b)
[mm]f(x)=\bruch{1}{\wurzel{x}}=x^{-\bruch{1} {2}}[/mm]
[mm]F(x)=\bruch{x^{\bruch{1} {2}}}{-\bruch{1} {2}}=2\wurzel{x}[/mm]
c)[mm]f(x)=\bruch{1}{\wurzel{x^2}}=\bruch{1}{|x|}[/mm]
[mm]F(x)=sgn(x)*ln(|x|)[/mm], wobei sgn(x) das Vorzeichen von x ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:07 So 24.10.2004 | | Autor: | dytronic |
ok danke euch beiden.
ps: ich lerne und begreife viel besser, wenn ich nen kompletten lösungsweg und das dazugehörige ergebnis habe.
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Sorry Rafael,
das ist ne blöde Sache gewesen mit dem Tippfehler.
Ich hoffe, du bist jetzt nicht vollends verwirrt...
Die Stammfunktion von [mm]x^r[/mm] ist für alle [mm]r\not=-1[/mm]:
[mm]\frac{1}{r+1}x^{r+1}[/mm].
Das geht wirklich immer mit Gewalt. Schöner schreiben kann man das Ergebnis danach immer noch.
Hugo
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