Stammfunktion F(t) u. Integral < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:25 So 24.04.2005 | | Autor: | Iceman |
Hallo,
ich habe mal wieder mit einer anderen Aufgabe ein Problem. Und zwar.
Sei f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] definiert durch
[mm] f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{wenn } x \mbox{ < 0} \\ x^2+1, & \mbox{wenn } 0\le t \le \mbox{ 2} \\ 0, & \mbox{wenn } x \mbox{ >2}\end{cases}
[/mm]
Bestimme die Stammfunktion F(t)= [mm] \integral_{0}^{t} [/mm] {f(x) dx}
Ich habe die Stammfunktionen berechnet:
F(x)= [mm] 1/2*x^2+c [/mm] , x<0
[mm] F(x)=1/3x^3+x+c [/mm] , 0<=x<=2
F(x)= c , x>2
Bestimmen muss man doch nicht irgendeine Stammfunktion sondern die Integralfunktion der oberen Grenze.
F(t)= [mm] \integral_{0}^{t} [/mm] {f(x) dx} mit F(0)=0
Das kann ich ja mit Fallunterscheidung machen, aber wie geht es ??
Ich habe:
[mm] f(t)=\begin{cases} \bruch{x^2}{2}, & \mbox{wenn } t \mbox{ < 0} \\ ??, & \mbox{wenn } 0\le t \le \mbox{ 2} \\ ???, & \mbox{wenn } t \mbox{ >2}\end{cases}
[/mm]
kann mir jemand das vervollständigen?
Danke!!!
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Hallo Iceman,
soo schwierig ist das nicht - bloß ungewohnt:
Da die untere Integrationsgrenze dankenswerterweise mit der Unstetigkeitsstelle bei 0 zusammenfällt haben wir:
für t<0: weil im negativen Bereich keine weiteren stückweisen Definitionen vorkommen, bleibt - wie Du schon richtig erkannt hast: [mm] $\bruch{t^2}{2}$.
[/mm]
für 0<=t<=2: eigentlich das gleiche in positiv: zwischen 0 und 2 passiert auch nichts Aufregendes - also [mm] $\bruch{1}{3}t^3+t$.
[/mm]
für 2<t: das ist eigentlich der einzige Stolperstein: ab t=2 liefert die Funktion (salopp gesprochen) kein Futter mehr für's Integral, also wird dies auch nicht mehr wachsen. Es bleibt also der Wert, der sich von 0 bis 2 angesammelt hat [mm] $\left(\bruch{2^3}{3}+2\right)$ [/mm] erhalten.
[mm]f(t)=\begin{cases} \bruch{t^2}{2}, & \mbox{wenn } t \mbox{ < 0} \\ \bruch{1}{3}t^3+t, & \mbox{wenn } 0\le t \le \mbox{ 2} \\ \bruch{14}{3}, & \mbox{wenn } t \mbox{ >2}\end{cases}[/mm]
Mathematisch korrekt (hoffe ich jedenfalls):
Für [mm] $t>2:\quad\integral_{0}^{t}{f(x)}\;dx\ [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2}{x^2 + 1}\;dx [/mm] + [mm] \integral_{2}^{t}{0}\;dx$.
[/mm]
Alles Gute,
Peter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Iceman |
Danke dir zuerst für die Hilfe! Ist mir hoffentlich jetzt klar nach welchem Schema das abläuft.
F ist ja differenzierbar an einer bestimmten Stelle. Wie kann ich die Stelle herausfinden? Oder muss man das irgendwie errechnen??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Iceman,
hmm, die Integralfunktion $F(t)$ ist zwar stetig, allerdings nicht überall differenzierbar, da zB der rechtsseitige Grenzwert und der linksseitige Grenzwert für $t=2$ unterscheidlich sind. Das gleiche gilt auch an der Stelle $t=0$. Damit ist $F$ auf [mm] $(-\infty; [/mm] 0)$, $(0;2)$ und [mm] $(2;\infty)$ [/mm] differenzierbar, aber nicht an den beiden Nahtstellen.
Gruß Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Iceman |
Danke!
Aber woran sehe ich dass der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert für t=2 unterschiedlich sind? Und wie kann man die Ableitung an den Stellen berechnen?
So eine Aufgabenart wurde mal in einer Klausur gestellt...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Max |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Wir hatten ja schon raus,
dass
$F(t)=\begin{cases} \frac{1}{2}t^2,\qquad t<0\\ \frac{1}{3}t^3+t,\qquad 0\le t \le 2\\ \frac{13}{2}, \qquad t>2\end{cases}$
Damit wird der linksseitige Grenzwert gegeben durch $\lim_{t \uparrow 2}F'(t)=\lim_{t \uparrow 2} \left(t^2+1) = 5$ und der rechtsseitige durch $\lim_{t \downarrow 2}F'(t)=\lim_{t \downarrow 2} \left(0\right)=0$.
Du kannst natürlich auch statt $F'$ die Differenzenquotienten betrachten, das führt aber zum gleichen Ergebnis.
Gruß Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Iceman |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Zunächst danke nochmal!
Muss der 3. Fall nicht \bruch{14}{3} für t>2 lauten?
Also ist der linksseitige Grenzwert für t=0
$ \lim_{t \uparrow 0}F'(t)=\lim_{t \uparrow 0} \left(0) = 0 $
und rechtsseitige
$ \lim_{t \uparrow 0}F'(t)=\lim_{t \uparrow 0} \left(t^2+1) = 1 $
Richtig?
Bei t=2 und t=0 lässt man den Grenzwert gegen 2 bzw. 0 laufen um zu gucken ob F(t) da differenzierbar ist.
Wie sieht es aber bei $ (-\infty; 0) $, (0;2) und (2;\infty) aus?
denn ich muss an den differenzierbaren Stellen die Ableitung ausrechnen können.
Sorry für die Fragen (auch wenn das trivial ist), ich kann mir alles am besten als "Rechnung" vorstellen.
EDIT: DIESES PROBLEM HAT SICH MITTLERWEILE ERLEDIGT!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Iceman |
Ich glaube ich habs jetzt. Man muss ja einfach die F(t) ableiten. Ich dachte dass t bei den Ableitungen bestimmte Werte einnehmen muss...
Sehe ich an den Werten jetzt auch wo F stetig ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:15 Di 26.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Iceman!
$F$ ist überall stetig, denn so hat Peter_Pein die Funktion ja gerade gebastelt. Schau dir seine Konstruktion noch einmal an. Er hat die drei stetigen Teilfunktionen an den "Nahtstellen" gerade so verknüpft, dass die Funktionswerte dort übereinstimmen.
Und um die Ableitung von $F$ an den differenzierbaren Stellen zu bilden, brauchst du doch nicht noch einmal abzuleiten. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Denn natürlich ist die Ableitung gerade deine vorher betrachtete Funktion $f$.
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Di 26.04.2005 | | Autor: | Iceman |
Hallo,
danke für den Tipp!
Also ist F(t) bei t=0 und t=2 nicht stetig, richtig? Weil F(t) da ja nicht differenzierbar ist.
Wenn ich F zeichnen möchte, dann mache ich es ja so, oder?
In [mm] \bruch{t^2}{2} [/mm] habe ich werte -4 bis -1 eingesetzt und ausgerechnet und
eingetragen.
In [mm] \bruch{1}{3}*t^3+t [/mm] habe ich z.b. 0,1,2 eingesetzt und eingetragen.
Jetzt das Problem mit den [mm] \bruch{14}{3}, [/mm] kommen diese genau nach 2 auf die
y-Achse?
Schönen Tag noch
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Hi, Iceman,
> Also ist F(t) bei t=0 und t=2 nicht stetig, richtig? Weil
> F(t) da ja nicht differenzierbar ist.
FALSCH!! Die Funktion IST stetig, aber nicht differenzierbar.
Es gilt zwar: Ist eine Funktion nicht stetig, so ist sie auch nicht differenzierbar.
Es gilt aber NICHT: Ist eine Funktion nicht differenzierbar, so ist sie auch nicht stetig!!!
"Stetig" ist eine Funktion dann, wenn Du ihren Graphen (theoretisch) zeichnen kannst, ohne den Stift dabei absetzen zu müssen: Sie darf also keine "Sprünge" machen und keine "Löcher" haben.
"Differenzierbar" ist sie, wenn sie sozusagen "glatt" ist, also keine "Knicke" aufweist.
Deine Funktion (genauer: der zugehörige Graph) hat 2 Knicke:
einen bei x=0, einen bei x=2. Achte beim Zeichnen darauf, dass Du dort keine "Rundungen" einträgst, sondern die "Ecke" erkennbar bleibt!
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> Wenn ich F zeichnen möchte, dann mache ich es ja so, oder?
>
> In [mm]\bruch{t^2}{2}[/mm] habe ich werte -4 bis -1 eingesetzt und
> ausgerechnet und
> eingetragen.
> In [mm]\bruch{1}{3}*t^3+t[/mm] habe ich z.b. 0,1,2 eingesetzt und
> eingetragen.
>
> Jetzt das Problem mit den [mm]\bruch{14}{3},[/mm] kommen diese genau
> nach 2 auf die
> y-Achse?
Da alle Funktionswerte konstant gleich [mm] \bruch{14}{3} [/mm] sind, handelt es sich bei diesem Teil des Funktionsgraphen um eine Waagrechte, also eine Parallele zur x-Achse im Abstand von [mm] \bruch{14}{3}. [/mm] ("Halbgerade" oder "Strahl")
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