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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 Di 12.07.2005 | | Autor: | Lilith |
Hallo!
Sitze grade an einer Aufgabe bei der die Stammfunktionen mittels der Integrationsregeln berechnet werden sollen. Zu zwei davon hab ich eine Frage, ich wäre überaus dankbar über ein paar Tipps :)
Die erste Funktion ist:
sin( ln |x|)
Dabei muss die Substitutionsregel angewendet werden, allerdings seh ich nicht genau wie.
Und die 2te Funktion:
[mm] \bruch{1}{cos(x)}
[/mm]
Ich finde davon zwar in allen Formelsammlungen die Stammfunktion, weiß aber nicht wie ich das mit den Integrationsregeln angehen soll.
Liebe Grüße,
Lilith
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo Lilith!
[mm] $\integral{\sin\left(\ln |x|\right) \ dx}$
[/mm]
Hier drängt sich folgende Substitution ja förmlich auf:
$t \ := \ [mm] \ln|x|$ $\gdw$ [/mm] $x \ = \ [mm] e^t$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $x' \ = \ [mm] \bruch{dx}{dt} [/mm] \ = \ [mm] e^t$ $\gdw$ [/mm] $dx \ = \ [mm] e^t [/mm] * dt$
Damit ergibt sich für unser Integral:
[mm] $\integral{\sin\left(\ln |x|\right) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\sin\left(t\right) * e^t * dt}$
[/mm]
Nun mußt Du dieses Integral noch zwei-mal partiell integrieren.
Kommst Du nun auf Dein gewünschtes Ergebnis?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Di 12.07.2005 | | Autor: | Lilith |
Danke für die schnelle Antwort.
Oki, ich hab dann noch 2 mal partiell integriert und bleibe dann allerdings hier stecken:
[mm] \integral_{}^{} [/mm] {sin (t) [mm] e^{t} [/mm] dt} = [mm] e^{t} [/mm] sin (t) - [mm] \integral_{}^{} {e^{t} cos (t) dt}
[/mm]
= [mm] e^{t} [/mm] sin (t) - [mm] e^{t} [/mm] sin (t) - [mm] \integral_{}^{} [/mm] sin (t) [mm] e^{t} [/mm] d
= - [mm] \integral_{}^{} [/mm] sin (t) [mm] e^{t} [/mm] dt
Wie muss ich dann weiter machen? Wenn ich jetzt weiter integriere dann dreh ich mich doch im Kreis oder?
Schon mal danke im vorraus :)
Liebe Grüße,
Lilith
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Hallo Lilith ...
> [mm]\integral_{}^{}{sin (t)e^{t}dt} = e^{t}sin (t) - \integral_{}^{} {e^{t} cos (t) dt} = e^{t}sin (t) - e^{t} sin (t) - \integral_{}^{}sin (t)e^{t}dt[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier muß es heißen:
[mm] $\integral{e^t*\sin(t) \ dt} [/mm] \ = \ [mm] e^t*\sin(t) [/mm] - [mm] e^t*\red{\cos(t)} [/mm] - [mm] \integral{e^t*\sin(t) \ dt}$
[/mm]
Und nun kannst Du ja unseren gesuchten Ausdruck [mm] $\integral{e^t*\sin(t) \ dt}$ [/mm] auf die linke Seite bringen und auflösen ...
Und, ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") ??
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:35 Di 12.07.2005 | | Autor: | Lilith |
Danke :)
Zu der 2ten Funktion kann mir niemand was sagen?
Liebe Grüße,
Lil
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:26 Di 12.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Lilith!
> Und die 2te Funktion:
> [mm]\bruch{1}{cos(x)}[/mm]
Schreibe
[mm] $\frac{1}{\cos(x)} [/mm] = [mm] \frac{\cos(x)}{1-\sin^2(x)}$
[/mm]
und substituiere [mm] $u=\sin(x)$.
[/mm]
Dann dritte Binomische Formel im Nenner, Partialbruchzerlegung, Integration mit dem Logarithmus und Rücksubstituition.
Wie lautet denn das Ergebnis in der Formelsammlung?
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:52 Di 12.07.2005 | | Autor: | Lilith |
Danke für die Hilfe.
In meiner Formelsammlung steht als Stammfunktion
ln | tan ( [mm] \bruch{x}{2} [/mm] + [mm] \bruch{ \pi}{4} [/mm] ) |
Liebe Grüße,
Lilith
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Di 12.07.2005 | | Autor: | Pacapear |
hallo.
kann man das Intergral [mm] \integral_{a}^{b} {\bruch{1}{cos(x)} dx} [/mm] auch wie folgt substituieren:
u = cos(x) (+ Differentiale umändern)
dann bekommt man doch [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] { [mm] \bruch{1}{u} [/mm] }
und davon die Stammfunktion ist doch ln|u|, oder?
und dann kann man doch wieder resubstituieren, also wäre die Stammfunktion ln|cos(x)|?
liebe grüße, nadine
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Hallo Nadine!
Dieser Weg klappt leider nicht (es wäre auch zu schön  ...) !!
> auch wie folgt substituieren: u = cos(x) (+ Differentiale umändern)
Da schreibst Du es ja selber... Du mußt auch $dx_$ durch $du_$ ersetzen:
$u' \ = \ [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] \ = \ [mm] -\sin(x)$ $\gdw$ [/mm] $dx \ = \ [mm] \bruch{du}{-\sin(x)}$
[/mm]
Damit erhalten wir: [mm] $\integral{\bruch{1}{\cos(x)} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\bruch{1}{u} * \bruch{du}{-\sin(x)}}$
[/mm]
Und damit haben wir leider gar nichts gewonnen ...
> und dann kann man doch wieder resubstituieren, also wäre
> die Stammfunktion ln|cos(x)|?
Du kannst diese angebliche Stammfunktion doch ganz schnell überprüfen, indem Du hier die Ableitung bildest ( Kettenregel nicht vergessen!).
Dann sollte ja wieder unsere Ausgangsfunktion entstehen ...
Und, Fehler eingesehen?
Gruß vom
Roadrunner
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