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Hallo,
ich muss die folgende Stammfunktion noch irgendwie berechnen.
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{1+e^x}{1-2e^x+e^{2x}} dx}
[/mm]
Sieht zwar schwer aus, aber wenn man ja substituiert vereinfacht man es deutlich.
[mm] e^x=u
[/mm]
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{1+u}{u^2-2u+1} dx}
[/mm]
Wenn man den Nenner ableitet hat man
[mm] [u^2-2u+1]'=2u-2
[/mm]
ich habe den Tipp bekommen, dass ich anwenden soll
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{f'}{f} dx}
[/mm]
Aber ich weiß nicht wie man damit umgehen soll, also wie das Funktioniert.
mit f wird das Integral gemeint, also die Funktion die integriert werden soll, richtig?
Also soll ich das Integral ableiten und dann durch das gegebene teilen?!
Wie geht das?
Vielen Dank für Hilfe!!
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Hallo Prinzessin,
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> [mm]\integral_{}^{} {\bruch{1+e^x}{1-2e^x+e^{2x}} dx}[/mm]
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> Sieht zwar schwer aus, aber wenn man ja substituiert
> vereinfacht man es deutlich.
>
> [mm]e^x=u[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{} {\bruch{1+u}{u^2-2u+1} dx}[/mm]
da fehlt doch was.
[mm]\begin{gathered}
e^x \; = \;u \hfill \\
e^x \;dx\; = \;du \hfill \\
\Rightarrow \;dx\; = \;\frac{1}
{u}\;du \hfill \\
\int {\frac{{1\; + \;e^x }}
{{1\; - \;2\;e^x \; + \;e^{2x} }}\;dx} \; = \;\int {\frac{{1\; + \;u}}
{{1\; - \;2\;u\; + \;u^2 }}\;\frac{1}
{u}\;du} \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Gruß
MathePower
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> [mm]\begin{gathered}
e^x \; = \;u \hfill \\
e^x \;dx\; = \;du \hfill \\
\Rightarrow \;dx\; = \;\frac{1}
{u}\;du \hfill \\
\int {\frac{{1\; + \;e^x }}
{{1\; - \;2\;e^x \; + \;e^{2x} }}\;dx} \; = \;\int {\frac{{1\; + \;u}}
{{1\; - \;2\;u\; + \;u^2 }}\;\frac{1}
{u}\;du} \hfill \\
\end{gathered}[/mm]
>
> Gruß
> MathePower
Das mit dem dx vergesse ich so oft...zu oft..
Hier muss es ja auch im Integral du statt dx heissen?
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{1+u}{1-2u+u^2}\bruch{1}{u} du}
[/mm]
Kann man das so aufteilen?
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{1+u}{1-2u+u^2} du}* \integral_{}^{} {\bruch{1}{u} du}
[/mm]
= [mm] \integral_{}^{} {\bruch{1+u}{1-2u+u^2} du} [/mm] * ln(u)
Denn dann könnte man ja:
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{1+u}{1-2u+u^2} du}
[/mm]
[mm] \gdw \integral_{}^{} {\bruch{1}{1-2u+u^2}+u du}
[/mm]
[mm] =[ln(1-2u+u^2)+\bruch{1}{2}u^2]
[/mm]
Kann man das so machen??
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Ohne dir zu Nahe treten zu wollen, würde ich sagen, dass du dir den Stoff nochmal anschauen solltest!!
> Hier muss es ja auch im Integral du statt dx heissen?
Genau!
> [mm]\integral_{}^{} {\bruch{1+u}{1-2u+u^2}\bruch{1}{u} du}[/mm]
>
> Kann man das so aufteilen?
Das geht leider nicht, so wären so einige Integrale deutlich einfacher zu lösen. Bei Produkten muss die partielle Integration angewendet werden. Vielleicht erinnerst du dich noch an die Kettenregel beim Differenzieren:
(f*g)' = f' * g + g' * f
Beim partiellen Integrieren wird die Umkehrung davon verwendet:
[mm] \integral [/mm] {f' * g } = f * g - [mm] \integral [/mm] {g' * f}
Wobei einer deiner Faktoren dann als f', der andere als g gewählt werden muss!
> [mm]\integral_{}^{} {\bruch{1+u}{1-2u+u^2} du}* \integral_{}^{} {\bruch{1}{u} du}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{}^{} {\bruch{1+u}{1-2u+u^2} du}[/mm] * ln(u)
>
> Denn dann könnte man ja:
>
> [mm]\integral_{}^{} {\bruch{1+u}{1-2u+u^2} du}[/mm]
>
> [mm]\gdw \integral_{}^{} {\bruch{1}{1-2u+u^2}+u du}[/mm]
Bruchrechnung!! Du darfst doch nicht einfach das u aus dem Bruch ziehen und ihm dabei seinen Nenner wegnehmen! Der muss leider auch dann da stehen bleiben, wenn du den Bruch aufteilen willst!!
Zu deiner Frage aus dem ersten Post:
[mm] \integral {\bruch{f'(x)}{f(x)}dx}
[/mm]
Da fehlt eigentlich noch das wichtigste:
[mm] \integral {\bruch{f'(x)}{f(x)}dx} [/mm] = ln(|f(x)|)
D.h., wenn du ein Integral über einen Bruch hast, dessen Zähler die Ableitung des Nenners ist, dann kannst du das logarithmisch integrieren. Als Beispiel vielleicht:
[mm] \integral {\bruch{2x}{x^2}dx}=ln|x^2|
[/mm]
Tja, zur eigentlichen Lösung hab ich dir jetzt allerdings noch nicht geholfen. Hab die Aufgabe ansich noch nciht gerechnet, vielleicht melde ich mich nachher nochmal mit ein, zwei Tipps!
Viel Erfolg
Tran
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> Tja, zur eigentlichen Lösung hab ich dir jetzt allerdings
> noch nicht geholfen. Hab die Aufgabe ansich noch nciht
> gerechnet, vielleicht melde ich mich nachher nochmal mit
> ein, zwei Tipps!
>
> Viel Erfolg
>
> Tran
Danke, wenigstens weiß ich wie das mit den ln Funktionen gemeint ist.
Die partielle Integration kenne ich.
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{1+u}{1-2u+u^2}\bruch{1}{u} du}
[/mm]
[mm] u=\bruch{1+u}{1-2u+u^2} [/mm] -> u'=?
[mm] v'=\bruch{1}{u} [/mm] -> v=ln(u)
Wie ihr seht habe ich ein Problem auf das u' zu kommen.
Wenn ich das schaffe schreib ich hier.
[mm] u*v-\integral_{}^{} [/mm] {v*u' dx}
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Stimmt, nicht ganz einfach, u' sollte aber mit Quotientenregel berechenbar sein, nur wirds dann im nächsten Integral haarsträubend!! Versuchs mal anders herum und verwende dabei die logarithmische Integration!! Du darfst den Bruch ja beliebig erweitern und wenn du das geschickt machst und unnötige (konstante!) Faktoren vor das Integral ziehst, hast du im Zähler tatsächlich die Ableitung des Nenners stehen!! (Unser Prof sagte mal, differenzieren ist ein Handwerk, integrieren eine Kunst......
ich würd Glücksspiel noch ergänzen)
Ich hoffe, das klappt!!
Gruß Tran
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Darüber habe ich auch schon nachgedacht, denn dann habe ich ja einen ln...
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{1+u}{1-2u+u^2}\bruch{1}{u} du}
[/mm]
[mm] u=\bruch{1}{u} [/mm] -> [mm] u=-\bruch{1}{u^2}
[/mm]
[mm] v'=\bruch{1+u}{1-2u+u^2} [/mm] -> [mm] v=-\bruch{1}{2}*ln(-1+2u+u^2)
[/mm]
v*u- [mm] \integral_{}^{} [/mm] {vu' dx}
[mm] -\bruch{1}{2u}*ln(-1+2u+u^2)- \integral_{}^{} {-\bruch{1}{2u^2}*ln(-1+2u+u^2) du}
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{2u}*ln(-1+2u+u^2)+\bruch{1}{2u^2} \integral_{}^{} {ln(-1+2u+u^2) du}
[/mm]
Also wenn ich das Integral mein Programm Maple ausrechnen lasse um mal zu schauen wie es aussieht, sehe ich nur ein Monster.....
Vielleicht liegts daran, dass ich zumindest verrückt werde wenn ich stundenlang so sachen rechne...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:07 Mi 29.06.2005 | | Autor: | TranVanLuu |
Das sieht in der Tat nicht schön aus...... sorry hatte ich nicht bedacht! Allerdings darfst du im letzten Schritt den Bruch nicht aus dem Integral ziehen, weil da ja noch ein u drin vorkommt!! Mein Rechner spuckt mir ein einigermaßen akzeptables Ergebnis aus, allerdings halt keinen Lösungsweg....
Falls du dann das Ergebnis noch brauchst, werde ich mich morgen nochmal dransetzen, aber jetzt muss ich leider ins Bettchen.....
Gruß Tran
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Ich versuche es mal bei der ersten Möglichkeit mit der PBZ.
Gute Nacht noch!! Und danke!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:45 Mi 29.06.2005 | | Autor: | TranVanLuu |
Man, man, man, Integrale sollte man nicht so neben bei versuchen zu lösen.... hab mich bestimmt 10 mal verrechnet - immer am Anfang.
Aber nun hats geklappt!!
Also, ich habe die Substitution [mm] e^x-1=u [/mm] gewählt vermutlich geht auch deine, nur konnte ich mich vorhin nicht mehr an die erinnern....
Ich kam dann auf [mm] \integral{\bruch{2+u}{u^2(u+1)}du}
[/mm]
Darauf jetzt ne Partialbruchzerlegung angewendet, ergibt:
[mm] \integral{\bruch{2}{u^2}-\bruch{1}{u}+\bruch{1}{u+1}}
[/mm]
"Nur" noch integrieren und resubstituieren und wir sind fertig!!
Ach wie schön kann Mathe doch sein.....
Gruß Tran
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