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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:50 Mi 14.01.2009 | | Autor: | abakus86 |
Hallo!
Habe mal eine Frage zu zwei Integralen. Habe die Stammfunktionen mit partieller Integration berechnet, aber bin mir nicht sicher, ob es stimmt.
f(x)= x³cos(x)
F(x)= x³-sinx+3x²cosx-6xsinx-6sinx
[mm] f(x)=\bruch{x}{\wurzel{1+x²}}=x\bruch{1}{\wurzel{1+x²}}
[/mm]
[mm] F(x)=xarcsinhx-xarcsinhx-\wurzel{x²+1}
[/mm]
Und dann noch eine Frage zur Regel von Hospital. Habe die noch nie verwendet, gerade mal gegoogelt, aber bin mir nicht sicher, ob ich das richtig verstanden habe.
Der Grenzwert einer Funktion von der Form [mm] \bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] lässt sich bestimmen, indem ich den Grenzwert der beiden Ableitungen f'(x) und g'(x) untersuche?
Vielen Dank für die Hilfe!
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Hallo!
> $f(x)= [mm] x^{3}*\cos(x)$
[/mm]
> $F(x)= [mm] x^{3}\red{-}\sin(x)+3*x^{2}*\cos(x)-6*x*\sin(x)-6*\blue{\sin(x)}$
[/mm]
Ich würde sagen: einmal Tippfehler (rot) und einmal kurz vor dem Ende vertan (blau). Die richtige Stammfunktion lautet
$F(x)= [mm] x^{3}*\sin(x)+3*x^{2}*\cos(x)-6*x*\sin(x)-6*\cos(x)$
[/mm]
> [mm]f(x)=\bruch{x}{\wurzel{1+x²}}=x*\bruch{1}{\wurzel{1+x²}}[/mm]
> [mm]F(x)=x*arcsinh(x)-\red{x*arcsinh(x)-\wurzel{x^{2}+1}}[/mm]
Hier fehlen Klammern und die darauf folgende Vereinfachung. F(x) lautet
[mm] $F(x)=x*arcsinh(x)-\left(x*arcsinh(x)-\wurzel{x^{2}+1}\right) [/mm] = [mm] \wurzel{x^{2}+1}$
[/mm]
Eine Anmerkung: Mit der Substitution $u = [mm] x^{2} [/mm] + 1$ fährt man hier meiner Meinung nach besser, weil man nicht irgendwelche Stammintegrale wissen muss.
> Und dann noch eine Frage zur Regel von Hospital. Habe die
> noch nie verwendet, gerade mal gegoogelt, aber bin mir
> nicht sicher, ob ich das richtig verstanden habe.
> Der Grenzwert einer Funktion von der Form
> [mm]\bruch{f(x)}{g(x)}[/mm] lässt sich bestimmen, indem ich den
> Grenzwert der beiden Ableitungen f'(x) und g'(x)
> untersuche?
So ähnlich. L'Hospital lautet grob gesagt folgendermaßen:
Wenn [mm] $\limes_{x\rightarrow x_{0}}\bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] = [mm] "\bruch{0}{0}"$ [/mm] oder [mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] = [mm] "\bruch{\infty}{\infty}"$, [/mm] dann verhalten sich die Tangenten der beiden Funktionen f(x) und g(x) an der kritischen Stelle [mm] x_{0} [/mm] genauso wie die Funktionen f(x) und g(x) selbst. Wenn man das ein wenig vereinfacht, kommt man zu
[mm] $\limes_{x\rightarrow x_{0}}\bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}}\bruch{f'(x)}{g'(x)}$.
[/mm]
(Aber wie gesagt nur, falls die obigen beiden Konstellationen des Grenzwerts auftreten). Damit kann man zum Beispiel folgende Probleme lösen:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{e^{x}}{x} [/mm] = [mm] "\bruch{\infty}{\infty}", [/mm] Anwendung L'Hospital möglich:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{e^{x}}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{(e^{x})'}{(x)'} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}e^{x} [/mm] = [mm] \infty.
[/mm]
Natürlich müssen dafür die Funktionen f(x) und g(x) differenzierbar sein...
Grüße,
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Do 15.01.2009 | | Autor: | abakus86 |
Vielen Dank für deine Hilfe!
Habe gerade nochmal nachgerechnet.
Muss es nicht
F(x)= [mm] x^{3}*\sin(x)+3*x^{2}*\cos(x)-6*x*\sin(x)\red{+}6*\cos(x)
[/mm]
heißen? Stammfunktion von sin ist -cos und - mal - gibt +
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:34 Do 15.01.2009 | | Autor: | ardik |
Hallo abakus86,
> F(x)=
> [mm]x^{3}*\sin(x)+3*x^{2}*\cos(x)-6*x*\sin(x)\green{-}6*\cos(x)[/mm]
Irgendwas ist da noch faul. Wenn ich das (in Stefans Fassung) zur Probe ableite, erhalte ich
$f(x) = [mm] 2x^2 \sin [/mm] x + [mm] x^3 \cos [/mm] x +6x [mm] \cos [/mm] x - [mm] 3x^2 \sin [/mm] x - 6 [mm] \sin [/mm] x + 6x [mm] \cos [/mm] x + 6 [mm] \sin [/mm] x$
$f(x) = [mm] -x^2 \sin [/mm] x + [mm] x^3 \cos [/mm] x +6x [mm] \cos [/mm] x + 6x [mm] \cos [/mm] x $
und ich sehe nicht, wie [mm] $-x^2 \sin [/mm] x +12x [mm] \cos [/mm] x$ null ergäbe.
Schöne Grüße
ardik
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Hallo ardik,
[mm]x^{3}*\sin(x)+3*x^{2}*\cos(x)-6*x*\sin(x)-6*\cos(x)[/mm]
> [mm]f(x) = \red{2}x^2 \sin x + x^3 \cos x +6x \cos x - 3x^2 \sin x - 6 \sin x \red{+} 6x \cos x + 6 \sin x[/mm]
leider hast du dich bei deiner Ableitung an zwei Stellen vertan. Deswegen kommst du nicht auf die Ausgangsfunktion $f(x) = [mm] x^{3}\cdot{}\cos(x)$.
[/mm]
Probe-Ableitung:
$F'(x) = [mm] \left(x^{3}*\sin(x)+3*x^{2}*\cos(x)-6*x*\sin(x)-6*\cos(x)\right)'$
[/mm]
$= [mm] \left(3*x^{2}*\sin(x) + x^{3}*\cos(x)\right) [/mm] + [mm] \left(6*x*\cos(x) - 3*x^{2}*\sin(x)\right) [/mm] - [mm] \left(6*\sin(x) + 6*x*\cos(x)\right) +6*\sin(x)$
[/mm]
$= [mm] \green{+3*x^{2}*\sin(x)} [/mm] + [mm] x^{3}*\cos(x) \blue{+6*x*\cos(x)} \green{- 3*x^{2}*\sin(x)}\red{ - 6*\sin(x)} \blue{- 6*x*\cos(x)} \red{+6*\sin(x)}$
[/mm]
$= [mm] x^{3}*\cos(x) [/mm] = f(x)$
Grüße,
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:31 Fr 16.01.2009 | | Autor: | ardik |
... wie peinlich ...
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]")
Danke für's Zurechtrücken!
sagt
ardik
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
$\integral{x^{3}\cdot{}\cos(x) dx}$
$= x^{3}\cdot{}\sin(x) - \integral{3*x^{2}\cdot{}\sin(x) dx}$
$= x^{3}\cdot{}\sin(x) - \left(3*x^{2}*(-\cos(x)) - \integral{6*x\cdot{}(-\cos(x)) dx}\right)$
$= x^{3}\cdot{}\sin(x) + 3*x^{2}*\cos(x) - \integral{6*x*\cos(x) dx}\right)$
$= x^{3}\cdot{}\sin(x) + 3*x^{2}*\cos(x) - \left(6*x*\sin(x) - \integral{6*\sin(x) dx}\right)$
$= x^{3}\cdot{}\sin(x) + 3*x^{2}*\cos(x) - 6*x*\sin(x) + \integral{6*\sin(x) dx}$
$= x^{3}\cdot{}\sin(x) + 3*x^{2}*\cos(x) - 6*x*\sin(x) -6*\cos(x)$
Das Ergebnis habe ich mit Maple überprüft.
Grüße,
Stefan.
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