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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 Di 23.12.2008 | | Autor: | Dinker |
Möchte die Stammfunktion von [mm] sin^{2}x [/mm] bestimmen......
Ich habe es gelernt mit der linearen Substitution
z = sinx
[mm] z^{2} [/mm] Stammfunktion = [mm] \bruch{1}{3} z^{3} [/mm]
Doch da es sich um eine trigonometrische Formel handelt, habe ich damit Probleme
Kann ja nicht einfach [mm] \bruch{1}{3} sinx^{3} [/mm] einsetzen, denn die Stammfunktion von sinx ist -cos x
Wie macht man das richtig?
besten Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Dinker,
> Möchte die Stammfunktion von [mm]sin^{2}x[/mm] bestimmen......
> Ich habe es gelernt mit der linearen Substitution
> z = sinx
> [mm]z^{2}[/mm] Stammfunktion = [mm]\bruch{1}{3} z^{3}[/mm]
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> Doch da es sich um eine trigonometrische Formel handelt,
> habe ich damit Probleme
>
> Kann ja nicht einfach [mm]\bruch{1}{3} sinx^{3}[/mm] einsetzen, denn
> die Stammfunktion von sinx ist -cos x
>
> Wie macht man das richtig?
Nun aus der Substitution [mm]z=\sin\left(x\right)[/mm] folgt:
[mm]dz=\cos\left(x\right) \ dx[/mm]
bzw.
[mm]dx=\bruch{1}{\wurzel{1-z^{2}}} \ dz[/mm]
Dies führt dann auf das Integral:
[mm]\integral_{}^{}{\sin^{2}\left(x\right) \ dx}=\integral_{}^{}{\bruch{z^{2}}{\wurzel{1-z^{2}}} \ dz}[/mm]
,welches deutlich schwieriger zu lösen ist.
Besser Du versucht es mit partieller Integration.
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> besten Dank
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Gruß
MathePower
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Hallo,
mich interessiert diese Aufgabe auch!
Ich habs jetzt mal mit der partiellen Integration versucht.
[mm] \integral_{}^{}{sinx * sinx dx}
[/mm]
u = sinx v = -cosx
u´= cosx v´= sinx
dann habe ich:
-sinx * cosx + [mm] \integral_{}^{}{cosx * cosx dx}
[/mm]
Jetzt müsste ich ja nochmal integrieren und bekomme dann:
sinx * cosx + [mm] \integral_{}^{}{sinx * sinx dx}
[/mm]
Jetzt hab ich ja wieder den Ausgangszustand! Wo liegt mein Fehler?
Gruß
Linda
PS: Hoffe es ist ok, dass ich hier jetzt eine Frage stelle, wollte nicht die gleiche Aufgabe nochmal stellen!
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Hallo,
[mm] \integral_{}^{}{sinx*sinx dx}=-sinx*cosx+\integral_{}^{}{cosx*cosx dx}
[/mm]
jetzt wenden wir den trigonometrischen Pythagoras an, umgestellt ergibt sich
[mm] cos^{2}x=1-sin^{2}x
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{sinx*sinx dx}=-sinx*cosx+\integral_{}^{}{1-sinx*sinx dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{sinx*sinx dx}=-sinx*cosx+\integral_{}^{}{1 dx}-\integral_{}^{}{sinx*sinx dx}
[/mm]
- addiere jetzt auf beiden Seiten der Gleichung [mm] \integral_{}^{}{sinx*sinx dx}
[/mm]
- [mm] \integral_{}^{}{1 dx} [/mm] sollte kein Problem sein
- dann Division durch 2
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 Di 23.12.2008 | | Autor: | urmelinda |
Danke! Du hast mir sehr geholfen :)
Gruß
Linda
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 Di 23.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dinker!
Man kann hier auch wie folgt ersetzen:
[mm] $$\sin^2(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left[1-\cos(2x)\right] [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}*\cos(2x)$$
[/mm]
Dies kann man nun mittels Substitution $u \ := \ 2*x$ integrieren.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:52 Di 23.12.2008 | | Autor: | reverend |
Sehr schön.
Dazu muss man allerdings wenigstens die wesentlichen trigonometrischen Additionstheoreme vorwärts, rückwärts, seitwärts, gewendet, umgekrempelt und auf 2x angewendet auswendig, blind und im Schlaf können...
Ansonsten die eindeutig eleganteste Methode. Wenn man die Lösung kennt, und ggf. wieder [mm] \sin{x}\cos{x} [/mm] als einen Term aus den Additionstheoremen erkennt, dann findet man sie auch relativ leicht, sonst: siehe oben.
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